Álgebra Booleana

Fundamentos da Lógica Digital

Conceito Central

Álgebra Booleana é o “alfabeto” dos circuitos digitais, manipulando lógica com estados 0 (Falso, desligado, Low) e 1 (Verdadeiro, ligado, High). Qualquer circuito digital pode ser representado, entendido e projetado a partir de expressões booleanas.

Objetivo: Compreender operadores lógicos e sua representação em circuitos.
Conteúdo: Operadores (AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR), tabelas-verdade, simulações com CIs (7408, 7404, 7432).
Prática: Construção de circuitos no Tinkercad ou Logisim.

Nota: A Álgebra Booleana é a base para projetar e analisar circuitos digitais.

Operadores Lógicos Básicos

AND, OR, NOT

Operadores Fundamentais

AND (E): Saída é 1 apenas se todas as entradas forem 1. Símbolo: A · B ou AB.
OR (OU): Saída é 1 se ao menos uma entrada for 1. Símbolo: A + B.
NOT (NÃO): Inverte o valor (0 vira 1, 1 vira 0). Símbolo: ¬A ou A'.

A	B	A · B	A	B	A + B	A	¬A
0	0	0	0	0	0	0	1
0	1	0	0	1	1	1	0
1	0	0	1	0	1
1	1	1	1	1	1

Atividade: Identifique qual operador (AND, OR, NOT) corresponde à expressão F = A · B.

Resposta: AND. A expressão F = A · B representa a porta AND (7408).

Operadores Avançados

XOR, NAND, NOR

Operadores Combinados

XOR (OU Exclusivo): Saída é 1 se exatamente uma entrada for 1. Símbolo: A ⊕ B.
NAND (NÃO-E): Inverso do AND. Saída é 0 apenas se todas as entradas forem 1. Símbolo: ¬(A · B).
NOR (NÃO-OU): Inverso do OR. Saída é 0 se ao menos uma entrada for 1. Símbolo: ¬(A + B).

A	B	A ⊕ B	A	B	¬(A · B)	A	B	¬(A + B)
0	0	0	0	0	1	0	0	1
0	1	1	0	1	1	0	1	0
1	0	1	1	0	1	1	0	0
1	1	0	1	1	0	1	1	0

Atividade: Qual é a saída de uma porta NAND quando A=1 e B=1?

Resposta: 0. Para A=1 e B=1, a porta NAND (¬(A · B)) inverte o resultado do AND (1), resultando em 0.

Tabelas-Verdade com CIs

Implementação com 7408, 7404, 7432

Portas Lógicas e Circuitos Integrados

Tabelas-verdade mapeiam entradas e saídas de portas lógicas, implementadas com CIs como 7408 (AND), 7404 (NOT) e 7432 (OR).

Exemplo: F = A · B (7408)

A	B	F = A · B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

NAND e NOR com CIs

NAND: ¬(A · B) (7408 + 7404).
NOR: ¬(A + B) (7432 + 7404).

Esquemático: NAND (7408 + 7404)

Esquemático: NOR (7432 + 7404)

Atividade: Construa a tabela-verdade para NOR (¬(A + B)).

A	B	¬(A + B)
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Atividade Prática

Simulação no Tinkercad/Logisim

Construindo Circuitos

Monte circuitos no Tinkercad ou Logisim para explorar portas lógicas e a expressão F = (A · B) + ¬C.

Porta AND (7408): Conecte duas chaves (A, B) aos pinos 1 e 2, saída no pino 3.
Porta OR (7432): Teste combinações de entradas.
Porta NOT (7404): Conecte uma chave (C) ao pino 1, saída no pino 2.
Circuito Combinado: Use 7408 para A · B, 7404 para ¬C, 7432 para a soma.

A	B	C	A · B	¬C	F = (A · B) + ¬C
0	0	0	0	1	1
0	0	1	0	0	0
0	1	0	0	1	1
0	1	1	0	0	0
1	0	0	0	1	1
1	0	1	0	0	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	0	1

Atividade: Monte o circuito no Tinkercad e verifique a tabela-verdade.

Resposta: O circuito usa 7408 (pinos 1, 2, 3) para A · B, 7404 (pinos 1, 2) para ¬C, e 7432 (pinos 1, 2, 3) para a soma. A tabela-verdade acima está correta.

Exercício de Fixação

Aplicação Prática

Construção de Circuitos

Monte e simule os seguintes circuitos no Tinkercad ou Logisim:

Circuito 1: F = A + B · C usando 7408 (B · C) e 7432 (A + resultado).
Circuito 2: Porta NAND usando 7408 + 7404.

Tabela-Verdade: F = A + B · C

A	B	C	B · C	F = A + B · C
0	0	0	0	0
0	0	1	0	0
0	1	0	0	0
0	1	1	1	1
1	0	0	0	1
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

Atividade: Monte o circuito para F = A + B · C e preencha a tabela-verdade no simulador.

Resposta: Use 7408 (pinos 1, 2, 3) para B · C, 7432 (pinos 1, 2, 3) para A + (B · C). A tabela-verdade está correta acima.

Quiz e Desafio Prático

Teste seus Conhecimentos

Quiz

1. (V/F) A porta AND (7408) só retorna 1 quando todas as entradas são 1.

Verdadeiro

Falso

Resposta correta: Verdadeiro. A porta AND (7408) só produz saída 1 se todas as entradas forem 1.

2. Qual é a expressão booleana para a porta NOT (7404)?

a) A

b) A'

c) A + B

d) AB

Resposta correta: b) A'. A porta NOT inverte a entrada A, resultando em A'.

3. O que acontece na saída da porta OR se as duas entradas forem 0?

a) 1

b) 0

Resposta correta: b) 0. A porta OR só produz saída 1 se pelo menos uma entrada for 1.

4. (V/F) A tabela-verdade serve apenas para circuitos muito grandes.

Verdadeiro

Falso

Resposta correta: Falso. Tabelas-verdade são usadas para qualquer circuito lógico, independentemente do tamanho.

5. No simulador, se ligar a saída de uma porta NOT a um LED, o que se observa ao alternar a chave de entrada?

a) LED sempre aceso

b) LED acende quando a chave está desligada

c) LED nunca acende

d) LED pisca aleatoriamente

Resposta correta: b) LED acende quando a chave está desligada. A porta NOT inverte a entrada (0 → 1, 1 → 0).

Desafio Prático

Monte um circuito com 3 chaves (A, B, C) usando 7408 e 7432, onde o LED acende se A · B + C = 1.

A	B	C	A · B	F = A · B + C
0	0	0	0	0
0	0	1	0	1
0	1	0	0	0
0	1	1	0	1
1	0	0	0	0
1	0	1	0	1
1	1	0	1	1
1	1	1	1	1

Esquemático: F = A · B + C

Desafio: Monte o circuito no simulador e verifique a tabela-verdade.

Resposta: Use 7408 (pinos 1, 2, 3) para A · B, 7432 (pinos 1, 2, 3) para (A · B) + C. A tabela-verdade está correta acima.

Da Tabela-Verdade à Expressão

SOP (soma de produtos) e POS (produto de somas)

Passo a passo (SOP)

Marque as linhas em que F = 1.
Para cada linha, crie um mintermo: use a variável direta se o bit é 1 e negada se é 0.
Some (OR) todos os mintermos: F = m₁ + m₂ + …

Exemplo (A, B, C)

A	B	C	F	Mintermo
0	0	1	1	`~A·~B·C`
0	1	0	1	`~A·B·~C`
1	0	1	1	`A·~B·C`
1	1	1	1	`A·B·C`

expressão canônica (SOP)

F(A,B,C) = ~A·~B·C + ~A·B·~C + A·~B·C + A·B·C

Dica: POS (produto de somas) nasce das linhas com F = 0. Use De Morgan para converter entre SOP/POS quando necessário.

Da Expressão ao Circuito

Mapeando para CIs 74xx

Roteiro

Negações com 7404 (NOT).
Produtos (·) com 7408 (AND). Para 3 entradas, encadeie dois ANDs.
Somar (+) com 7432 (OR).

Exemplo guiado: `F = (A · B) + ~C`

Gerar ~C no 7404.
Gerar A·B no 7408.
Somar no 7432 → F.

Atividade: A partir da expressão canônica do slide anterior, desenhe um circuito usando 7404/7408/7432.

Formas de Onda

níveis, bordas e leitura temporal

Níveis e bordas

LOW (0) e HIGH (1) representam faixas de tensão (ex.: TTL ~0–0,8 V é 0; ~2,0–5,0 V é 1).
Borda de subida (↑): transição 0→1. Borda de descida (↓): transição 1→0.
Ao rascunhar, alinhe sinais num mesmo eixo de tempo e marque 0/1 por nível.

Exemplo: saída `C = A · B`

Tabela-verdade — `C = A · B`

A	B	C = A · B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Observação: a saída só é 1 quando A=1 e B=1.

Exercício: Esboce C = A ⊕ B para os mesmos A e B acima. Onde C fica 1?

Equivalência de Portas

De Morgan, universais (NAND/NOR) e verificações

Ideia

Dois circuitos são equivalentes se têm a mesma tabela-verdade. Verificamos comparando F para todas as entradas.

Exemplos

Circuito	Expressão	Equivalente a
NAND duplo	`~(A · B)` negado novamente: `~(~(A · B))`	AND (`A · B`)
NOR duplo	`~(A + B)` negado novamente: `~(~(A + B))`	OR (`A + B`)
NAND(A,A)	`~(A · A)`	NOT (`~A`)
De Morgan p/ OR	`A + B = ~(~A · ~B)`	OR com NAND + inversores
De Morgan p/ AND	`A · B = ~(~A + ~B)`	AND com NOR + inversores

Verificação por tabela-verdade (ex.: OR vs. NAND-equivalente)

A	B	OR	~(~A·~B)	Igual?
0	0	0	0	Sim
0	1	1	1	Sim
1	0	1	1	Sim
1	1	1	1	Sim

NAND/NOR são universais: com eles (e apenas eles) dá pra montar qualquer função lógica.