\section*{Experimentos em esquema fatorial}
\indent

O objetivo dessa análise é realizar a análise de variância de experimentos fatoriais. 

\subsection*{O arquivo de dados}
\indent

Será analisado o experimento fatorial\x{experimento!fatorial} $2 \times 3$ sobre batata Yacon\x{Yacon}. Este experimento, descrito no livro, página \pageref{tab:yacon}, comparou a resposta (pH) de tubérculos em diferentes ambientes, com diferentes formas de branqueamento e acidificação.
  
A seguir, vamos trazer os dados para o \R{} com o comando \verb|read.table()|:
\x{read.table@{\tt read.table()}}
\begin{verbatim}
> yacon <- read.table("yacon.txt", header=T,dec=",")
> yacon
\end{verbatim}

Lembre-se de fornecer o caminho onde você salvou os dados, caso seja necessário.


Antes de começar as análises, vamos inspecionar o objeto que contém os
dados, para saber quantas observações e variáveis existem no arquivo, bem
como o nome das variáveis. Vamos, também, pedir para que o \R{} exiba um
resumo dos dados.

\begin{verbatim}
> dim(yacon)
[1] 18  3

> names(yacon)
[1] "trat"     "ambiente" "pH"   

> attach(yacon)

> is.factor(trat)
[1] TRUE
> is.factor(ambiente)
[1] TRUE
> is.factor(pH)
[1] FALSE
> is.numeric(pH)
[1] TRUE
\end{verbatim}

Nos resultados anteriores, vemos que o objeto {\tt yacon}, que contém os dados,
tem 18 linhas (observações) e 3 colunas (variáveis).
As variáveis têm nomes {\tt trat}, {\tt ambiente} e {\tt pH}, sendo que as
duas primeiras são {\it fatores}, enquanto {\tt pH} é uma variável
numérica, que, neste caso, é a variável resposta\x{variável!resposta}.

O objeto {\tt yacon} foi incluído no caminho de procura, u\-san\-do o co\-man\-do \linebreak \verb|attach(yacon)|\x{attach@{\tt attach()}} para facilitar a digitação.


\subsection*{Análise descritiva}
\indent

Inicialmente, pode-se obter algumas estatísticas usando a
função \verb|summary()|\x{summary@{\tt summary()}}.

\begin{verbatim}
> summary(yacon)
 trat  ambiente       pH       
 A:6   M:9      Min.   :4.490  
 B:6   V:9      1st Qu.:4.570  
 C:6            Median :6.385  
                Mean   :5.796  
                3rd Qu.:6.445  
                Max.   :6.600 
\end{verbatim}

Para os fatores, são exibidos o número de dados em cada nível
do fator. Já, para a variável numérica, são mostradas algumas estatísticas.

\begin{verbatim}
> yacon.m <- tapply(pH, list(trat,ambiente), mean)
> yacon.m
         M        V
A 6.413333 6.500000
B 6.460000 6.323333
C 4.556667 4.520000


> yacon.mt <- tapply(pH, trat, mean)
> yacon.mt
       A        B        C 
6.456667 6.391667 4.538333 

> yacon.ma <- tapply(pH, ambiente, mean)
> yacon.ma
        M        V 
5.810000 5.781111 
\end{verbatim}

Nos comandos acima, calculamos as médias para cada fator, assim como
para os cruzamentos entre os fatores. Note que podemos calcular outros resumos, além da média.

Experimente, nos comandos acima, substituir \verb|mean| por \verb|var|
para calcular a variância de cada grupo, e por \verb|summary| para
obter um outro resumo dos dados.

Em experimentos fatoriais é importante verificar se existe interação\x{interação}
entre os fatores. Isto pode ser visto graficamente, e, mais à
frente, faremos um teste formal para presença de interação.
Os comandos, a seguir, são usados para produzir os gráficos exibidos na figura ~\ref{fig:yaconinter.eps}.  

\begin{verbatim}
> par(mfrow=c(1,2))
> interaction.plot(trat, ambiente, pH)
> interaction.plot(ambiente, trat, pH)
\end{verbatim}

{\Huge rever figuras}

\begin{figure}[ht!]
\caption{\label{fig:yaconinter.eps}Gráficos de interação entre os fatores.}
\centerline{
\mbox{
\includegraphics[width=8.0cm,height=8.0cm]{../CE214/internet/figuras/yaconinter1.eps}
\includegraphics[width=8.0cm,height=8.0cm]{../CE214/internet/figuras/yaconinter2.eps}
}}
\end{figure}

Pode-se usar o \R{} para obter outros tipos de gráficos, de acordo com
o interesse de quem está analisando os dados.
Por exemplo, os comandos abaixo ilustram outros tipos de gráficos.
Experimente estes comandos, verifique os gráficos produzidos e
certifique-se de que você entendeu cada comando.

\begin{verbatim}
> plot.default(trat, pH, ty="n")
> points(trat[ambiente=="M"], pH[ambiente=="M"], col=1)
> points(yacon.m[,1], pch="x", col=1, cex=1.5)
> points(trat[ambiente=="V"], pH[ambiente=="V"], col=2)
> points(yacon.m[,2], pch="x", col=2, cex=1.5)

> plot.default(ambiente, pH, ty="n")
> points(ambiente[trat=="A"], pH[trat=="A"], col=1)
> points(yacon.m[1,], pch="x", col=1, cex=1.5)
> points(ambiente[trat=="B"], pH[trat=="B"], col=2)
> points(yacon.m[2,], pch="x", col=2, cex=1.5)
> points(ambiente[trat=="C"], pH[trat=="C"], col=3)
> points(yacon.m[3,], pch="x", col=3, cex=1.5)

> coplot(pH ~ trat|ambiente)
> coplot(pH ~ ambiente|trat)
\end{verbatim}
\x{points@{\tt points()}} \x{coplot@{\tt coplot()}}
\subsection*{Análise de variância}
\indent

Seguindo o modelo adequado, 
a análise de variância para esse experimento, considerando um delineamento inteiramente casualizado
em esquema fatorial, pode ser obtida com o comando:
\begin{verbatim}
> yacon.av <- aov(pH ~ trat + ambiente + trat * ambiente,data=yacon)
\end{verbatim}

Entretanto, o comando acima pode ser simplificado, produzindo os mesmos
resultados com: 
\begin{verbatim}
> yacon.av <- aov(pH ~ trat * ambiente)
> summary(yacon.av)
              Df  Sum Sq Mean Sq   F value    Pr(>F)    
trat           2 14.2381  7.1191 2703.4451 < 2.2e-16 ***
ambiente       1  0.0038  0.0038    1.4262  0.255464    
trat:ambiente  2  0.0375  0.0188    7.1287  0.009111 ** 
Residuals     12  0.0316  0.0026                        
---
Signif. codes:  0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 
\end{verbatim}

Isto significa que no \R, ao colocar uma interação no modelo, os
efeitos principais\x{efeito!principal} são incluídos automaticamente.
Note, no quadro de análise de variância, que a interação\x{interação} é denotada por
{\tt trat:ambiente}.

A análise acima mostra que este efeito é significativo, confirmando o
que foi verificado nos gráficos de interação\x{gráfico!de interação}.

O objeto {\tt yacon.av} guarda todos os resultados da análise e pode
ser explorado por diversos comandos.

Por exemplo, a função \verb|model.tables()|\x{model.tables@{\tt model.tables()}}, aplicada a este objeto, produz
tabelas das médias definidas pelo modelo. O resultado mostra a média
geral, médias de cada nível de fatores e das combinações dos níveis dos
fatores. No resultado está incluído, também, o número de dados
que gerou cada média. 
\begin{verbatim}  
> yacon.mg <- model.tables(yacon.av, ty="means")
> yacon.mg
Tables of means
Grand mean
         
5.795556 

 trat 
trat
    A     B     C 
6.457 6.392 4.538 

 ambiente 
ambiente
    M     V 
5.810 5.781 

 trat:ambiente 
    ambiente
trat M     V    
   A 6.413 6.500
   B 6.460 6.323
   C 4.557 4.520
\end{verbatim}

Para obter uma estimativa dos efeitos dos fatores do modelo, pode-se utilizar a função \verb|model.tables()| \x{model.tables@{\tt model.tables()}} da seguinte maneira:

\begin{verbatim}
> yacon.ef <- model.tables(yacon.av, ty="effects")
\end{verbatim}


O objeto {\tt yacon.av} possui vários elementos que guardam
informações sobre o ajuste.
\begin{verbatim}
> names(yacon.av)
 [1] "coefficients"  "residuals"     "effects"       "rank"         
 [5] "fitted.values" "assign"        "qr"            "df.residual"  
 [9] "contrasts"     "xlevels"       "call"          "terms"        
[13] "model"        

> class(yacon.av)
[1] "aov" "lm" 
\end{verbatim}

O comando \verb|class| mostra que o objeto {\tt yacon.av} pertence às
classes {\tt aov} e {\tt lm}.

Isto significa que devem existir {\it métodos} associados a este objeto
que tornam a exploração do resultado mais fácil.

Na verdade, já usamos este recurso, acima, quando digitamos o comando \linebreak
\verb|summary(yacon.av)|.

Existe uma função chamada \verb|summary.aov|\x{summary.aov@{\tt summary.aov()}} que foi utilizada, já que o
objeto é da classe \verb|aov|.

Iremos usar mais este mecanismo, no próximo passo da análise.

A função \verb|plot.design()|\x{plot.design@{\tt plot.design()}} pode ser utilizada para construir um gráfico com as médias, por exemplo, de cada um dos fatores estudados. Ela pode ser aplicada tanto sobre o \verb|data.frame| {\it yacon} quanto sobre o objeto que contém o modelo da análise: 

\begin{verbatim}
> plot.design(yacon,fun=mean, col = 2)
> plot.design(yacon.av$model,fun=mean, col = 2)
\end{verbatim}


\subsection*{Análise de resíduos}
\indent

Após ajustar o modelo, devemos proceder à análise dos resíduos, para
verificar os pressupostos. O \R{} produz, automaticamente, 4 gráficos básicos de resíduos como mostra a figura \ref{fig:yaconres1.eps}, com o comando \verb|plot()|.
\begin{verbatim}
> par(mfrow=c(2,2))
> plot(yacon.av)
\end{verbatim}

\begin{figure}[htbp!]
\caption{\label{fig:yaconres1.eps}Gráficos de resíduos gerados pelo \R.}
\centerline{\includegraphics[width=12.0cm,height=12.0cm]{../CE214/internet/figuras/yaconres1.eps}}
\end{figure}

Os gráficos permitem uma análise dos resíduos, que auxilia no
julgamento do ajuste do modelo. 

Examine os comandos abaixo e os gráficos por eles produzidos.

\begin{verbatim}
> par(mfrow=c(2,1))
> residuos <- resid(yacon.av)

> plot(yacon$trat, residuos)
> title("Resíduos vs Tratamentos")

> plot(yacon$ambiente, residuos)
> title("Resíduos vs Ambientes")
 
> par(mfrow=c(2,2))
> preditos <- (yacon.av$fitted.values)
> plot(residuos, preditos)
> title("Resíduos vs Preditos")

> s2 <- sum(resid(yacon.av)^2)/yacon.av$df.res
> respad <- residuos/sqrt(s2)
> boxplot(respad)
> title("Resíduos Padronizados")

> qqnorm(residuos,ylab="Residuos", main=NULL) 
> qqline(residuos)
> title("Gráfico Normal de \n Probabilidade dos Resíduos")
> par(mfrow=c(1,1))
\end{verbatim}

Além disto, há alguns testes já programados. Como exemplo, vejamos o
teste de Shapiro-Wilk\x{teste!de Shapiro-Wilk}, para testar a normalidade\x{normalidade} dos resíduos.

\begin{verbatim}
> shapiro.test(residuos)

	Shapiro-Wilk normality test

data:  residuos 
W = 0.9249, p-value = 0.1575
\end{verbatim}

\subsection*{Desdobrando interações}

Conforme visto no livro, quando a interação\x{interação} entre os
fatores é significativa, pode-se desdobrar\x{desdobramento} os graus de liberdade de um
fator, dentro de cada nível do outro.

A forma de fazer isto no \R{} é reajustando o modelo utilizando 
a notação \verb+/+ , que indica efeitos aninhados.

Desta forma, podemos desdobrar os efeitos de tratamentos dentro de cada
ambiente, e vice-versa ,conforme mostrado a seguir.
\begin{verbatim}
> yacon.avr <- aov(pH ~ trat/ambiente)
> summary(yacon.avr, split=list("trat:ambiente"=list(A=1, B=2, C=3)))
                   Df  Sum Sq Mean Sq   F value    Pr(>F)    
trat                2 14.2381  7.1191 2703.4451 < 2.2e-16 ***
trat:ambiente       3  0.0413  0.0138    5.2278  0.015409 *  
  trat:ambiente: A  1  0.0113  0.0113    4.2785  0.060855 .  
  trat:ambiente: B  1  0.0280  0.0280   10.6392  0.006806 ** 
  trat:ambiente: C  1  0.0020  0.0020    0.7658  0.398690    
Residuals          12  0.0316  0.0026                        
---
Signif. codes:  0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 


> yacon.ave <- aov(pH ~ ambiente/trat)
> summary(yacon.ave, split=list("ambiente:trat"=list(M=c(1,3),V=c(2,4))))
                   Df  Sum Sq Mean Sq   F value    Pr(>F)    
ambiente            1  0.0038  0.0038    1.4262    0.2555    
ambiente:trat       4 14.2757  3.5689 1355.2869 8.111e-16 ***
  ambiente:trat: M  2  7.0721  3.5360 1342.7975 7.749e-15 ***
  ambiente:trat: V  2  7.2036  3.6018 1367.7764 6.941e-15 ***
Residuals          12  0.0316  0.0026                        
---
Signif. codes:  0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 
\end{verbatim}


\subsection*{Teste de Tukey para comparações múltiplas}
\indent

Vejamos, por exemplo, duas formas de usar o {\it Teste de Tukey}:\x{teste!de Tukey}, a
primeira, usando uma implementação com a função \verb|TukeyHSD()|\x{TukeyHSD@{\tt TukeyHSD()}}, e uma
segunda, fazendo os cálculos ``manualmente"\ com o \R.

\begin{verbatim}
> yacon.tk <- TukeyHSD(yacon.ave)
> yacon.tk
  Tukey multiple comparisons of means
    95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = pH ~ ambiente/trat, data = yacon)

$"ambiente:trat"
               diff         lwr          upr
V:A-M:A  0.08666667 -0.05406994  0.227403269
M:B-M:A  0.04666667 -0.09406994  0.187403269
V:B-M:A -0.09000000 -0.23073660  0.050736602
M:C-M:A -1.85666667 -1.99740327 -1.715930065
V:C-M:A -1.89333333 -2.03406994 -1.752596731
M:B-V:A -0.04000000 -0.18073660  0.100736602
V:B-V:A -0.17666667 -0.31740327 -0.035930065
M:C-V:A -1.94333333 -2.08406994 -1.802596731
V:C-V:A -1.98000000 -2.12073660 -1.839263398
V:B-M:B -0.13666667 -0.27740327  0.004069935
M:C-M:B -1.90333333 -2.04406994 -1.762596731
V:C-M:B -1.94000000 -2.08073660 -1.799263398
M:C-V:B -1.76666667 -1.90740327 -1.625930065
V:C-V:B -1.80333333 -1.94406994 -1.662596731
V:C-M:C -0.03666667 -0.17740327  0.104069935
\end{verbatim}

Esse resultado não está correto, pois estão sendo feitas todas as comparações possíveis, entre pares de médias diferentes.

Como a interação foi significativa na análise deste experimento, estamos interessados nas comparações dos níveis de um fator, dentro dos níveis de outro.

Portanto, somente as seguintes comparações estão corretas:

Tratamentos de branqueamento dentro do ambiente M,

\begin{verbatim}

> yacon.tk <- TukeyHSD(yacon.ave,"ambiente:trat")
> yacon.tk[[1]][c(2,4,11),]
               diff         lwr        upr
M:B-M:A  0.04666667 -0.09406994  0.1874033
M:C-M:A -1.85666667 -1.99740327 -1.7159301
M:C-M:B -1.90333333 -2.04406994 -1.7625967
\end{verbatim}

ou
 
Tratamentos de branqueamento dentro do ambiente V.

\begin{verbatim}
> yacon.tk[[1]][c(7,9,14),]
              diff        lwr         upr
V:B-V:A -0.1766667 -0.3174033 -0.03593006
V:C-V:A -1.9800000 -2.1207366 -1.83926340
V:C-V:B -1.8033333 -1.9440699 -1.66259673
\end{verbatim}

Uma outra maneira, é utilizando uma função:

Primeiro, dentro do ambiente M, obtém-se 
\begin{verbatim}
> s2 <- sum(resid(yacon.av)^2)/yacon.av$df.res
> dt <- qtukey(0.95, 3, 12) * sqrt(s2/3)
> dt
[1] 0.1117818

> yacon.m
         M        V
A 6.413333 6.500000
B 6.460000 6.323333
C 4.556667 4.520000

> m1 <- yacon.m[,1]
> m1
       A        B        C 
6.413333 6.460000 4.556667 

> m1d <- outer(m1,m1,"-")

> m1d
            A           B        C
A  0.00000000 -0.04666667 1.856667
B  0.04666667  0.00000000 1.903333
C -1.85666667 -1.90333333 0.000000

> m1d <- m1d[lower.tri(m1d)]
> m1d
          B           C        <NA> 
 0.04666667 -1.85666667 -1.90333333 

> m1n <- outer(names(m1),names(m1),paste, sep="-")
> names(m1d) <- m1n[lower.tri(m1n)]
> m1d
        B-A         C-A         C-B 
 0.04666667 -1.85666667 -1.90333333 

> data.frame(dif = m1d, sig = ifelse(abs(m1d) > dt, "*", "ns"))
            dif sig
B-A  0.04666667  ns
C-A -1.85666667   *
C-B -1.90333333   *
\end{verbatim}

Em seguida, para o ambiente V:

\begin{verbatim}
> m2 <- yacon.m[,2]
> m2d <- outer(m2,m2,"-")
> m2d <- m2d[lower.tri(m2d)]
> m2n <- outer(names(m2),names(m2),paste, sep="-")
> names(m2d) <- m2n[lower.tri(m2n)]
> data.frame(dif = m2d, sig = ifelse(abs(m2d) > dt, "*", "ns"))
           dif sig
B-A -0.1766667   *
C-A -1.9800000   *
C-B -1.8033333   *
\end{verbatim}



\section*{Experimento no esquema fatorial com três fatores}\x{experimento!fatorial!triplo}
\indent

Nesse tópico, será feita a análise de variância de um experimento fatorial com três fatores, utilizando o software \R.


\subsection{O arquivo de dados}
\indent


Nesse exercício será analisado o experimento fatorial $2^3$, conduzido em um delineamento completamente casualizado, apresentado na seção \ref{ex:insetos}.

Para começar a análise, faça a leitura do arquivo de dados, usando \verb|read.table()|\x{read.table@{\tt read.table()}}:

\begin{verbatim}
> ins<-read.table("insetos.txt",header=T)
\end{verbatim}


Lembre-se que cada coluna indicadora dos níveis deve ser um fator no \R. Por essa razão, o vetor {\tt concent} precisa ser transformado para fator\x{fator}.

\begin{verbatim}
> is.factor(ins$concent)
[1] FALSE
> ins$concent<-as.factor(ins$concent)
\end{verbatim}


Para facilitar a digitação, pode-se incluir, no caminho de procura, o objeto {\tt ins}, com o comando \verb|attach(ins)|\x{attach@{\tt attach()}}.

Com o comando \verb|summary()| obtém-se um resumo dos dados do objeto {\tt ins}.

\begin{verbatim}
> summary(ins)
  larvas inseticida concent       d14        
 G:19   C:8        10 :19   Min.   :  0.00  
 M:20   D:7        160:20   1st Qu.: 30.00  
        L:8                 Median : 73.33  
        M:8                 Mean   : 62.73  
        T:8                 3rd Qu.: 93.33  
                            Max.   :100.00  
\end{verbatim}

A variável resposta pode ser explorada com o comando \verb|tapply()|\x{tapply@{\tt tapply()}}:

\begin{verbatim}

> ins.mn <- tapply(d14, larvas, mean)
> ins.mn

> ins.mp <- tapply(d14, inseticida, mean)
> ins.mp

> ins.mk <- tapply(d14, concent, mean)
> ins.mk
\end{verbatim}
 
Procure explorar esses dados, utilizando outras estatísticas descritivas\x{estatística!descritiva}, e tente fazer alguns gráficos!

\subsection*{Análise de variância}
\indent


A análise de variância, para o experimento fatorial\x{experimento!fatorial} conduzido no delineamento completamente casualizado, pode ser obtida com o comando:

\begin{verbatim}
> ins.av <- aov(d14 ~ larvas + inseticida + concent + 
  larvas*inseticida + larvas*concent + inseticida*concent +
  larvas*inseticida*concent,  data=ins)
\end{verbatim}

ou

\begin{verbatim}
> ins.av <- aov(d14 ~ larvas*inseticida*concent,data=ins)
> summary(ins.av)
                          Df  Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
larvas                     1   795.3   795.3  3.3331  0.083659 .  
inseticida                 4 17455.0  4363.7 18.2876 2.612e-06 ***
concent                    1  8842.1  8842.1 37.0555 7.464e-06 ***
larvas:inseticida          4   966.6   241.6  1.0127  0.425665    
larvas:concent             1    86.9    86.9  0.3642  0.553305    
inseticida:concent         4  5616.6  1404.2  5.8846  0.002959 ** 
larvas:inseticida:concent  4   792.7   198.2  0.8305  0.522276    
Residuals                 19  4533.7   238.6                      
---
Signif. codes:  0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 
\end{verbatim}


O uso da função \verb|model.tables()|\x{model.tables@{\tt model.tables()}} permite a obtenção de estatísticas para cada um dos fatores do modelo\x{modelo}, e a combinação entre eles.


\begin{verbatim}
> ins.mt <- model.tables(ins.av, ty="means")
> ins.mt
\end{verbatim}


\subsection{Análise de resíduos}
\indent

Uma forma de analisar os resíduos é através do comando \verb|plot(ins.av)|.  Esta função realiza a análise de resíduos do objeto {\tt ins.av}. 

\begin{verbatim}
> par(mfrow=c(2,2))
> plot(ins.av)
\end{verbatim}


Uma outra maneira de realizar a análise de resíduos\x{análise!de resíduos}, é gerando os gráficos individualmente. Desse modo, existe uma maior liberdade para trabalhar com a análise.

\begin{verbatim}
> par(mfrow=c(1,1))
> residuos <- resid(ins.av)

> plot.default(ins$larvas, residuos)
> title("Resíduos vs larvas")

> plot.default(ins$inseticida, residuos)
> title("Resíduos vs inseticida")

> plot.default(ins$concent, residuos)
> title("Resíduos vs concent")


> par(mfrow=c(2,2))
> preditos <- (ins.av$fitted.values)
> plot(residuos, preditos)
> title("Resíduos vs Preditos")

> s2 <- sum(resid(ins.av)^2)/ins.av$df.res
> respad <- residuos/sqrt(s2)
> boxplot(respad)
> title("Resíduos Padronizados")

> qqnorm(residuos,ylab="Residuos", main=NULL) 
> qqline(residuos)
> title("Gráfico Normal de \n Probabilidade dos Resíduos")
\end{verbatim}


O teste de Shapiro-Wilk\x{teste!de Shapiro-Wilk} também pode ser utilizado para avaliar a normalidade dos resíduos.

\begin{verbatim}
> shapiro.test(residuos)

	Shapiro-Wilk normality test

data:  residuos 
W = 0.9558, p-value = 0.1293
\end{verbatim}


Uma vez verificados os pressupostos do modelo de análise de variância, pode-se continuar a análise. Nesse exemplo, observa-se que o efeito da interação\x{interação} inseticida*concent foi significativo. Por esse motivo, faz-se necessário efetuar o desdobramento dos graus de liberdade da interação.


\subsection*{Análise da Interação}
\indent

Um gráfico da interação ajuda a visualizar o comportamento entre as combinações dos diferentes níveis dos diferentes fatores.

\begin{verbatim}
> par(mfrow=c(2,2))

> interaction.plot(inseticida, concent, d14)
> title("Interação inseticida vs concent")
> interaction.plot(inseticida, larvas, d14)
> title("Interação inseticida vs larvas")
> interaction.plot(concent, laras, d14)
> title("Interação concent vs larvas")
\end{verbatim}


\subsection*{Desdobramento da interação Concentração e Inseticida}
\indent

Estudaremos os níveis de {\it concent} dentro de {\it inseticida}.

Inicialmente, deve-se utilizar o modelo com o efeito de {\it concent} aninhado em {\it inseticida}.

\begin{verbatim}
> desd<-aov(d14~inseticida/concent + concent*inseticida*larvas - concent, 
 data=ins)
> desd
\end{verbatim}

Observe que, apenas, nos interessa interpretar os efeitos do desdobramento\x{desdobramento}.

\begin{verbatim}
> summary(desd,split=list("inseticida:concent"=list(C.d.I1=1,C.d.I2=2,
 C.d.I3=3, C.d.I4=4, C.d.I5=5,)))
\end{verbatim}

Para estudar os níveis de {\it inseticida} dentro {\it concent}, basta considerar \linebreak $concent/inseticida$.


\begin{verbatim}
> desd<-aov(d14~concent/inseticida+concent*inseticida*larvas -inseticida,
  data=ins)
> desd
> summary(desd,split=list("concent:inseticida"=list(I.d.C10=c(1,3,5,7),
  I.d.C160=c(2,4,6,8))))
\end{verbatim}

