\section*{Aula 04: Experimentos em Parcelas Subdivididas}
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\subsection*{Objetivo da aula}
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O Objetivo dessa aula é analisar um experimento conduzido no arranjo de parcelas subdivididas. 

Será mostrado como especificar o modelo para análise de
experimentos em parcelas subdivididas.

Procure entender os comandos utilizados e também interpretar os resultados.

\subsection*{Trabalhando com o arquivo de dados}
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Os comandos abaixo mostram como realizar a leitura e preparação dos dados.


{\bf Parcelas subdivididas}

Considere o experimento em parcelas subdivididas de dados de produção
de aveia descrito na apostila do curso.

\htmladdnormallink{Clique aqui}{../dados/exemplo09.txt} para ver e
copiar o arquivo com o conjunto de dados. 

Lembre-se que esse experimento foi conduzido em um delineamento em blocos completos casualizados.

Com os comandos abaixo, pode-se obter os dados para relizar-se as análises no R.


\begin{verbatim}
 ex09 <- read.table("exemplo09.txt", header=T)
 ex09

 dim(ex09)
[1] 64  4
 names(ex09)
[1] "a"     "b"     "bloco" "resp" 
 
 ex09$a <- as.factor(ex09$a)
 ex09$b <- as.factor(ex09$b)
 ex09$bloco <- as.factor(ex09$bloco)
 
 summary(ex09)
 a      b      bloco       resp      
 1:16   1:16   1:16   Min.   :28.30  
 2:16   2:16   2:16   1st Qu.:44.90  
 3:16   3:16   3:16   Median :52.30  
 4:16   4:16   4:16   Mean   :52.81  
                      3rd Qu.:62.38  
                      Max.   :75.40  

\end{verbatim}

\subsection*{Análise de variância}
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O modelo da análise de variância é especificado da seguinte maneira:

\begin{verbatim}
> ex09.av <- aov(resp ~ bloco + a*b + Error(bloco/a), data=ex09)
> summary(ex09.av)

Error: bloco
      Df  Sum Sq Mean Sq
bloco  3 2842.87  947.62

Error: bloco:a
          Df  Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)   
a          3 2848.02  949.34  13.819 0.001022 **
Residuals  9  618.29   68.70                    
---
Signif. codes:  0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 

Error: Within
          Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)   
b          3 170.54   56.85  2.7987 0.053859 . 
a:b        9 586.47   65.16  3.2082 0.005945 **
Residuals 36 731.20   20.31                    
---
Signif. codes:  0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 
\end{verbatim}

Observe que neste caso, é necessário especificar quais serão os denominadores para obtenção correta do teste F para os efeitos de bloco da ANOVA (se for de interesse testar o efeito de blocos).

Nesse caso, deve-se realizar isso da seguinte maneira:

\begin{verbatim}
> ex09.av1 <- aov(resp ~ bloco + a*b + bloco*a, data=ex09)
> ex09.anova<-anova(ex09.av1)
> is.list(ex09.anova)
[1] TRUE

> names(ex09.anova)
[1] "Df"      "Sum Sq"  "Mean Sq" "F value" "Pr(>F)" 

> ex09.anova$Df
 1  2  3  4  5    
 3  3  3  9  9 36 

> ex09.anova$Mean
        1         2         3         4         5           
947.62437 949.34062  56.84562  68.69937  65.16285  20.31118 

> Fcalc <- ex09.anova$Mean[1]/ex09.anova$Mean[4]
> Fcalc
       1 
13.79378 

> pvalor <- 1 - pf(Fcalc, ex09.anova$Df[1], ex09.anova$Df[4])
> pvalor
          1 
0.001028707 
\end{verbatim}

Pode-se concluir, nesse caso, que existe efeito significativo de blocos nesse experimento, portanto, rejeita-se a hipótese $H_0$ para esse efeito.

Também para o efeito da interação, existe efeito significativo. Portanto, para esse experimento é necessário estudar o efeito da interação sem estudar os efeitos principais. 




Graficamente, pode-se visualizar o comportamento de variedades dentro de tratamentos de sementes e vice-versa com os seguintes comandos:

\begin{verbatim}
attach(ex09)
par(mfrow=c(1,2))
interaction.plot(a, b, resp, xlab="Variedades")
interaction.plot(b, a, resp,xlab="Trat. de Sementes")
\end{verbatim}

As médias de cada fator podem ser obtidas com o comando {\tt model.tables}

\begin{verbatim}
ex09.m <- model.tables(ex09.av, ty="means")
\end{verbatim}



\subsection*{Análise de resíduos}
\indent


Após ajustar o modelo devemos proceder a análise dos resíduos para
verificar os pressupostos.

O \R{} produz automaticamente 4 gráficos básicos de resíduos conforme
o comando {\tt plot}.
\begin{verbatim}
par(mfrow=c(2,2))
plot(ex09.av)
\end{verbatim}


Evidentemente você não precisa se limitar aos gráficos produzidos
automaticamente pelo \R{} -- você pode criar os seus próprios gráficos. Nestes gráficos você pode usar outras variáveis, mudar texto de eixos e títulos, etc, etc, etc.

Examine os comandos abaixo e os gráficos por eles produzidos.

\begin{verbatim}
 par(mfrow=c(2,1))
 residuos <- resid(ex09.av1)

 plot.default(ex09$a, residuos)
 title("Resíduos vs Variedades")

 plot.default(ex09$b, residuos)
 title("Resíduos vs Trat. Sementes")

 
 par(mfrow=c(2,2))
 preditos <- (ex09.av1$fitted.values)
 plot(residuos, preditos)
 title("Resíduos vs Preditos")

 s2 <- sum(resid(ex09.av1)^2)/ex09.av1$df.res
 respad <- residuos/sqrt(s2)
 boxplot(respad)
 title("Resíduos Padronizados (outliers)")

 qqnorm(residuos,ylab="Residuos", main=NULL) 
 qqline(residuos)
 title("Grafico Normal de \n Probabilidade dos Resíduos")
\end{verbatim}

Pode-se ainda, utilizar o teste de Shapiro-Wilk para testar a normalidade dos resíduos

\begin{verbatim}
> shapiro.test(residuos)

        Shapiro-Wilk normality test

data:  residuos 
W = 0.9703, p-value = 0.1258
\end{verbatim}


\subsection*{Desdobrando interações}
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Fazendo o desdobramento dos graus de liberdade para estudar os níveis de B dentro de A, pode-se utilizar os seguintes procedimentos no R.

\begin{verbatim}
 ex.b.d.a<-aov(resp~bloco+ a/b +bloco*a,data=ex09)
 summary(ex.b.d.a)
summary(ex.b.d.a,split=list("a:b"=list
(B.d.A1=c(1,5,9),B.d.A2=c(2,6,10),B.d.A3=c(3,7,11),B.d.A4=c(4,8,12))))
\end{verbatim}

Lembre-se que aqui interessa apenas concluir sobre o desdobramento.


Para estudar os níveis de A dentro de B, usa-se:

\begin{verbatim}
 ex.a.d.b<-aov(resp~bloco+b/a +bloco*a -a,data=ex09)
 summary(ex.a.d.b)
 ex.ab<-summary(ex.a.d.b,split=list("b:a"=list(A.d.B1=c(1,5,9),A.d.B2=c(2,6,10),A.d.B3=c(3,7,11),A.d.B4=c(4,8,12))))
\end{verbatim} 

Observe que nesta saída, o teste F não está correto, pois é necessário utilizar o resíduo médio e os graus de liberdade médio para testar os efeitos de A dentro de B.


\begin{verbatim} 
 ex09.av1 <- aov(resp ~ bloco + a*b + bloco*a, data=ex09)
 summary(ex09.av1)

 ex09.anova<-anova(ex09.av1)
 res.medio<-(ex09.anova$Mean[5]+3*ex09.anova$Mean[6])/4
 res.medio

 gl.medio<-27
\end{verbatim}

 O teste F pode ser calculado da seguinte maneira: 

\begin{verbatim}
 FAB1<-468.1/res.medio;FAB1
 FAB2<-137.7/res.medio;FAB2
 FAB3<-108.3/res.medio;FAB3
 FAB4<-430.9/res.medio;FAB4
\end{verbatim}

 E os respectivos p-valores associados a cada F calculado: 


\begin{verbatim}
 pvalorAB1 <- 1 - pf(FAB1, 3, gl.medio);  pvalorAB1
 pvalorAB2 <- 1 - pf(FAB2, 3, gl.medio);  pvalorAB2
 pvalorAB3 <- 1 - pf(FAB3, 3, gl.medio);  pvalorAB3
 pvalorAB4 <- 1 - pf(FAB4, 3, gl.medio);  pvalorAB4
 \end{verbatim}

\subsection*{Exercícios}
\begin{enumerate}
  \itemsep 1ex
\item Analise o experimento de métodos de preparação de polpa e temperaturas de cozimento, do livro do Montgomery, conduzido em um arranjo de parcelas subdivididas no delineamento em Blocos Completos Casualizados. Os dados estão na tabela a seguir (tabela \ref{subexe}):

\begin{table}[ht]
\begin{center}
\caption{\label{subexe}Experimento sobre tensão de papel. }
\begin{tabular}{l|ccc|ccc|ccc}\hline
&  \multicolumn{3}{c|}{Bloco 1} & \multicolumn{3}{c|}{Bloco 2}  & \multicolumn{3}{c}{Bloco 3}\\\hline
Mét. de Prepar. 	 & 1  &  2 &  3 &  1 & 2 &  3 &  1 & 2 &  3  \\ \hline
200 F$^o$ 	 & 30 & 34 & 29 & 28  & 31 & 31 & 31 & 35 & 32  \\ 
225 F$^o$ 	 & 35 & 41 & 26 & 32  & 36 & 30 & 37 & 40 & 34   \\ 
250 F$^o$ 	 & 37 & 38 & 33 & 40  & 42 & 32 & 41 & 39 & 39   \\ 
275 F$^o$	 	 & 36 & 42 & 36 & 41  & 40 & 40 & 40 & 44 & 45 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}


Nesse experimento, os blocos são diferentes dias. Aqui, uma batelada de polpa é produzida, utilizando-se um dos três métodos de preparação. Dessa batelada, 4 amostras são retiradas para serem cozidas em uma das quatro temperaturas. Uma nova batelada é produzida com outro método e dividida novamente para serem cozidas nas 4 diferentes temperaturas e assim por diante. 

{\bf sugere-se realizar essa análise seguindo os comandos da aula 4.}

\item  Discuta com seus colegas como ficaria o planejamento desse experimento se não fosse utilizado um arranjo em parcelas subdivididas.
\end{enumerate}









 

