\section*{Aula 07: Análise de covariância}
\indent


\subsection*{Objetivo dessa aula}
\indent

O objetivo dessa aula é realizar uma análise de covariância de um experimento com um fator Será utilizado o exemplo do livro do Montgomery sobre comprimento e diâmetro de fios de algodão. 



\subsection*{Trabalhando com o arquivo de dados}
\indent


\htmladdnormallink{Clique aqui}{../dados/exemplo12.txt} para ver e
copiar o arquivo com conjunto de dados. 

Inicialmente faz-se a leitura e organização dos dados.

Note que neste caso tem-se 2 variáveis numéricas, a resposta ({\tt
  resp}) e a covariável ({\tt cov}). 

Nesse exemplo, a resposta é o comprimento dos fios e o diâmetro a covariável.

  
\begin{verbatim}
> ex12 <- read.table("exemplo12.txt", header=T)
> ex12

> dim(ex12)
[1] 15  3
> names(ex12)
[1] "maq"  "cov"  "resp"
> 
> ex12$maq <- as.factor(ex12$maq)
> is.numeric(ex12$cov)
[1] TRUE
> is.numeric(ex12$resp)
[1] TRUE
> 
> summary(ex12)
 maq        cov             resp     
 1:5   Min.   :15.00   Min.   :32.0  
 2:5   1st Qu.:21.50   1st Qu.:36.5  
 3:5   Median :24.00   Median :40.0  
       Mean   :24.13   Mean   :40.2  
       3rd Qu.:27.00   3rd Qu.:43.0  
       Max.   :32.00   Max.   :49.0  
\end{verbatim}

Na análise de covariância os testes de significância tem que ser
obtidos em ajustes separados.

É necessário verificar se o efeito da covariável influencia na variável resposta. 



\subsection*{Análise exploratória}
\indent

As estatísticas descritivas podem ser obtidas com as funções utilizadas nas aulas anteriores além de gráficos.

Nessa análise, tem-se o interesse de estudar a relação entre a variável resposta e a covariável. Como a metodologia de análise de covariância utiliza princípios da análise de regressão é natural que essa investigação utilize também procedimentos dessa área.


Portanto, inicialmente, pode-se fazer um gráfico de dispersão para avaliar a relação entre a variável resposta e a covariável.

\begin{verbatim}
attach(ex12)
ex12.lm<-lm(cov~resp)
plot(cov~resp)
abline(ex12.lm$coef)
\end{verbatim}


Observe que neste caso existe uma associação entre a variável resposta e a covariável. 

Não é objetivo nessa análise, verificar a qualidade do ajuste do modelo. Claro, dependendo da forma da relação, isso deve ser incluido no modelo.


\begin{verbatim}
> cor(cov,resp)
[1] 0.938542
\end{verbatim}

{\bf Observação:} para dados não completos, use a opção

{\tt cor(...,use="complete.obs")}

Portanto, a relação entre essas variáveis pode estar afetando os resultados experimentais. 

Para avaliar se esse efeito é significativo, faz-se a análise de covariância para examinar essa suspeita. 


\subsection*{Análise de Covariância}
\indent


Primeiro testa-se o intercepto (coeficiente $\beta$) da reta de 
regressão. Na análise de variância abaixo deve-se considerar apenas
o teste referente à  variável {\tt cov} que neste caso está corrigida
para o efeito de {\tt maq}. Note que para isto a variável {\tt cov} tem
que ser a última na especificação do modelo.

\begin{verbatim}
> ex12.av <- aov(resp ~ maq + cov, data=ex12)
> summary(ex12.av)
            Df  Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
maq          2 140.400  70.200  27.593 5.170e-05 ***
cov          1 178.014 178.014  69.969 4.264e-06 ***
Residuals   11  27.986   2.544                      
---
Signif. codes:  0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 
\end{verbatim}

A seguir testa-se o efeito do fator {\tt maq} corrigindo para o
efeito da covariável. Para isto basta inverter a ordem dos termos na
especificação do modelo.

\begin{verbatim}
> ex12.av <- aov(resp ~ cov + maq, data=ex12)
> summary(ex12.av)
            Df  Sum Sq Mean Sq  F value   Pr(>F)    
cov          1 305.130 305.130 119.9330 2.96e-07 ***
maq          2  13.284   6.642   2.6106   0.1181    
Residuals   11  27.986   2.544                      
---
Signif. codes:  0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 
\end{verbatim}

Portanto, para esse experimento, a covariável teve um efeito significativo na interpretação dos resultados. 

Caso o efeito da covariável fosse não significativo a análise poderia ser feita da forma habitual, ou seja, somente com o fator {\tt maq} no modelo.


Observe que, nesse caso, as conclusões ainda seriam as mesmas. Mas, compare os p-valores para {\tt maq} nas duas situações (com e sem a covariável) e observe que os valores são bem distintos. 

\begin{verbatim}
summary(aov(resp~maq))
\end{verbatim}



\subsection*{Ajustando as médias}
\indent


Como o efeito da Covariável foi significativo, isso implica na correção das médias dos tratamentos. 

Com o comando {\tt lm} pode-se obter o valor de $\beta$ da covariável diâmetro para correção das médias.

\begin{verbatim}
beta<-lm(resp~cov+maq)
summary(beta)

> beta$coef[2]
      cov 
0.9539877 
\end{verbatim}

Depois, pode-se obter o valor da média corrigida, por exemplo da máquina 1:

\begin{verbatim}
media.resp<-tapply(resp,maq,mean)
media.cov<-tapply(cov,maq,mean)
media.cor1<-media.resp[1]-beta$coef[2]*(media.cov[1]-mean(cov))
\end{verbatim}



\subsection*{Exercício}
\indent

\begin{enumerate}
  \itemsep 1ex
\item Analise os dados do experimento abaixo, considerando um experimento com uma covariável, conduzido em um delineamento completamente casualizado.\\


Este experimento refere-se aos dados coletados por um pesquisador, que queria saber se o produto TBT (Tributil-Estanho) poderia estar afetando a atividade enzimática (nmol/min/mg) no cérebro e no músculo de peixes. Nesse caso, o pesquisador não conseguiu utilizar peixes com o mesmo peso pela dificuldade de encontrá-los na natureza.


\begin{table}[ht]
\begin{center}
\caption{Atividade enzimática (nmol/min/mg) no cérebro e no músculo de peixes submetidos a presença de TBT e sem a presença de TBT (C).}
\begin{tabular}{lccc}\hline
Tratamentos &  peso & TBTc & TBTm \\ \hline
C & 	64.1 & 	44.58 & 	50.649	\\			
C & 	69.8 & 	58.8  & 	65.392	\\		
C & 	56.8 & 	91.5  & 	61.087	\\		
C & 	128  &  7.41  & 	91.420	\\		
C	&   112  &  8.32  & 	92.710	\\	
C & 	129  &  16.67 & 	75.770	\\			
C & 	198  &  20.24 & 	61.610	\\			
C & 	140  &  15.11 & 	47.910	\\			
C & 	214  &    NA  & 	15.510	\\	
TBT & 98.2 &	40.17 & 	55.120	\\		
TBT & 80.2 &	69.24 & 	42.046	\\		
TBT & 79.8 &	16.55 & 	44.510	\\		
TBT & 88.7 &	22.77 & 	95.242	\\		
TBT & 79.5 & 	39.88 & 	56.060	\\		
TBT & 98.1 & 	38.28 & 	70.516 \\ \hline				
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}


\end{enumerate}

      
