\section*{Análise de covariância}\x{ANCOVA}
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O objetivo dessa seção é realizar a análise de covariância de um experimento\x{experimento} com um fator.


\subsection*{O arquivo de dados}
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Faz-se, inicialmente, a leitura e organização dos dados. Neste exemplo (página \pageref{cov}, tabela \ref{cov}), tem-se 2 variáveis numéricas, a resposta ({\tt Pb})\x{Pb} e a covariável\x{covariável} ({\tt peso})\x{peso}. 
  
\begin{verbatim}
> peixes <- read.table("peixes.txt", header=T,dec=",")
> peixes

> dim(peixes)
[1] 14  3

> names(peixes)
[1] "trat" "peso" "Pb"  

> summary(peixes)
 trat        peso             Pb        
 C :8   Min.   : 41.8   Min.   :  1.51  
 T :6   1st Qu.:138.3   1st Qu.: 13.97  
        Median :164.1   Median : 60.98  
        Mean   :174.1   Mean   : 68.80  
        3rd Qu.:241.8   3rd Qu.: 99.74  
        Max.   :298.0   Max.   :170.32  
\end{verbatim}


As estatísticas descritivas e os gráficos podem ser obtidos com as funções utilizadas nas seções anteriores.

Nessa análise, tem-se o interesse em estudar a relação entre a variável resposta e a covariável. Como a metodologia de análise de covariância utiliza princípios da análise de regressão\x{análise!de regressão}, é natural que essa investigação utilize, também, procedimentos dessa área.


\subsection*{Análise exploratória}
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Portanto, inicialmente, pode-se fazer um gráfico de dispersão\x{gráfico!de dispersão}, para avaliar a relação entre a variável resposta e a covariável.

\begin{verbatim}
attach(peixes)
peixes.lm<-lm(peso~Pb)
plot(Pb~peso)
abline(peixes.lm$coef)
\end{verbatim}

Observe que, neste caso, existe uma associação entre a variável resposta e a covariável. À medida que o peso do peixe\x{peixe} aumenta, a quantidade de Pb dimunui.

Não é objetivo, nessa análise, verificar a qualidade do ajuste do modelo. Claro, dependendo da forma da relação, isso deve ser considerado no modelo. 

\begin{verbatim}
> cor(peso,Pb)
[1] -0.4752959
\end{verbatim}

{\bf Observação:} para dados não completos, use a opção

\begin{verbatim}
> cor(...,use="complete.obs")
\end{verbatim}


Portanto, a relação entre essas variáveis pode estar afetando os resultados experimentais. É necessário verificar, se o efeito\x{efeito} da covariável influencia na variável resposta. 

Para avaliar se esse efeito é significativo, faz-se a análise de covariância, para examinar essa suspeita. 

\subsection*{Análise de Covariância}
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A análise de covariância no \R{} é obtida por ajustes separados.

Primeiro, faz-se o teste relativo ao efeito da covariável, nese caso, peso. Na análise de variância, abaixo, deve-se considerar, apenas
o teste referente à  variável {\tt peso} que, neste caso, está corrigida
para o efeito de {\tt tratamentos}. Para isto, a variável, ou melhor, a covariável {\tt peso} tem que ser a última na especificação do modelo\x{modelo}.

\begin{verbatim}
>  peixes.av <- aov(Pb ~ trat + peso, data=peixes)
>  summary(peixes.av)
            Df  Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)   
trat         1 23099.2 23099.2 16.9957 0.001693 **
peso         1  8612.5  8612.5  6.3368 0.028612 * 
Residuals   11 14950.3  1359.1                    
---
Signif. codes:  0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 
\end{verbatim}

Nesse exemplo, a covariável {\tt peso} foi significativa (p<0,05). Portanto, o peso dos peixes está influenciando a variável resposta.

A seguir, testa-se o efeito do fator {\tt trat}, corrigindo para o
efeito da covariável {\tt peso}, uma vez que esta foi significativa. Para isto, basta inverter a ordem dos termos na especificação do modelo.

\begin{verbatim}
>  peixes.av <- aov(Pb ~ peso + trat, data=peixes)
>  summary(peixes.av)
            Df  Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)   
peso         1 10541.2 10541.2  7.7559 0.017746 * 
trat         1 21170.4 21170.4 15.5766 0.002286 **
Residuals   11 14950.3  1359.1                    
---
Signif. codes:  0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 
\end{verbatim}

Caso o efeito da covariável\x{covariável} fosse não significativo, a análise poderia ser feita da forma habitual, ou seja, somente com o fator {\tt trat} no modelo.

Observe que, nesse caso, as conclusões ainda seriam as mesmas. No entanto, compare os p-valores para {\tt trat} nas duas situações (com e sem a covariável), e observe que os valores são distintos. 

\begin{verbatim}
> summary(aov(Pb~trat,data=peixes))
            Df  Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)   
trat         1 23099.2 23099.2  11.764 0.004987 **
Residuals   12 23562.8  1963.6                    
---
Signif. codes:  0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 
\end{verbatim}


\subsection*{Ajuste de médias}
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Como o efeito da covariável foi significativo, isso implica na correção das médias dos tratamentos. 

Com o comando \verb|lm()| pode-se obter o valor de $\beta$, da covariável {\tt peso} para correção\x{média!correção} das médias.

\begin{verbatim}
> beta<-lm(Pb~peso+trat,data=peixes)
> summary(beta)

Call:
lm(formula = Pb ~ peso + trat, data = peixes)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-87.314 -13.345  -2.197  21.359  50.471 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
(Intercept)  88.5424    25.4140   3.484  0.00511 **
peso         -0.3073     0.1221  -2.517  0.02861 * 
tratT        78.7524    19.9539   3.947  0.00229 **
---
Signif. codes:  0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 

Residual standard error: 36.87 on 11 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.6796,	Adjusted R-squared: 0.6213 
F-statistic: 11.67 on 2 and 11 DF,  p-value: 0.001911 

>  beta$coef[2]
      peso 
-0.3073084 
\end{verbatim}

Depois, pode-se obter o valor da média corrigida, por exemplo, do tratamento Controle (C):

\begin{verbatim}
media.Pb<-tapply(Pb,trat,mean)
media.peso<-tapply(peso,trat,mean)
media.cor1<-media.Pb[1]-beta$coef[2]*(media.peso[1]-mean(peso))
> media.cor1
       C 
35.04896 
\end{verbatim}


      
