prof. alexandre kirilov

departamento de matemática

análise complexa - verão de 2016

Informações:

identificação	EMA705 - Análise Complexa
Início:	4 de janeiro de 2016
Término:	19 de fevereiro de 2016
Local:	pc03
Horário:	segundas, terças, quintas e sextas-feira, das 9h30 às 12h
c.h.:	60 horas incluindo aulas presenciais, exercícios complementares e avaliações escritas

Ementa:

Sequências e séries de funções: convergência uniforme, séries de potências. Funções analíticas séries de potências, fórmula integral de Cauchy. Séries de Taylor e de Laurent. Singularidades. Teorema de resíduos e aplicações. Aplicações conformes. Teorema de representação conforme de Riemann. Funções Harmônicas no plano.

Bibliografia:

Existem múitos livros de variáveis complexas no mercado, com várias abordagens diferentes. Você pode encontrar alguns para download nesse link.

Livro texto:

Conway, John. Functions of one complex variable, GTM11 - Springer-Verlag. 1978 (2ª ed).

outros Livros interessantes

Ahlfors, L., Complex Analysis, 3 ed. McGraw-Hill. 1979.
Greene, Robert and Krantz, Steven. Function theory of one complex variable. Wiley-Interscience publication. 1997.
forsyth, A. R. Theory of Functions of a Complex Variable, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1918.
Knopp, K. Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover, 1996.
Krantz, S. G. Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, 1999.
Lang, S. Complex Analysis, 3rd ed. New York: Springer-Verlag, 1993.

Avaliação

A nota final levará em conta as duas avaliações escritas que serão feitas e as listas de exercícios.

Correção da primeira prova

para composição da nota observar que:

cada item das questões 1 e 2 tem peso 1,0;
questões 3 e 5 tem peso 2,0,
cada item da questão 4 tem peso 1,5

alunos	1a	1b	1c	2a	2b	2c	3	4a	4b	5	nota1
aline	0,5	1,0	0,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	10,0
ana	0,5	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,5
André	0,5	1,0	0,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	0,0	9,5
augusto	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	1,0	0,0	1,5
Bruno	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	1,0	1,0	0,0	3,0
Eduardo	1,0	1,0	0,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	0,9	10,0
evelin	0,0	1,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,5	1,0	1,0	0,0	5,0
Guilherme	1,0	1,0	0,0	0,5	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	10,0
Jaqueline	0,5	1,0	0,0	0,0	1,0	0,0	0,0	0,0	1,0	0,0	4,0
kléber	1,0	1,0	0,0	1,0	1,0	0,0	1,0	1,0	1,0	1,0	10,0
luiz	1,0	1,0	0,0	1,0	1,0	1,0	1,0	0,0	1,0	1,0	10,0
Natalha	1,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	1,0	1,0	0,0	4,0
Ruany	0,5	1,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	1,0	1,0	1,0	6,5

correção da segunda prova

para composição da nota observar que:

as questões 1, 2 e 3 tem peso 2,0;
cada item da questão 4 tem peso 1,5;
o item 5a tem peso 1,5, enquanto o 5b tem peso 0,5.

alunos	1	2	3	4a	4b	4c	5a	5b	nota2
aline	1,0	0,0	0,0	1,0	0,0	1,0	1,0	1,0	6,5
ana	0,5	0,0	0,0	1,0	1,0	0,0	0,0	0,0	4,0
André	1,0	0,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	0,0	9,5
augusto	0,5	0,0	0,0	0,0	0,5	0,0	0,0	1,0	2,5
Eduardo	1,0	0,0	0,0	0,7	0,0	1,0	1,0	1,0	6,0
evelin	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	0,0	1,0	1,0	10,0
Guilherme	1,0	0,7	1,0	1,0	0,0	0,0	1,0	1,0	8,5
Jaqueline	0,0	0,0	1,0	0,0	0,0	0,0	1,0	1,0	3,5
kléber	0,7	0,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	9,5
luiz	0,7	0,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	0,0	9,0
Natalha	1,0	0,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	10,0
Ruany	0,5	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	1,0	0,0	2,0

média final

alunos	nota1	nota2	média	exercícios	nota final	conceito
aline	10,0	6,5	8,3	1,2	9,5	a
ana	0,5	4,0	2,3	1,2	3,5	d
André	9,5	9,5	9,5	0,5	10,0	a
augusto	1,5	2,5	2,0	1,0	3,0	d
Bruno	3,0	n/c	1,5	0,5	2,0	d
Eduardo	10,0	6,0	8,0	1,0	9,0	a
evelin	5,0	10,0	7,5	1,5	9,0	a
Guilherme	10,0	8,5	9,3	0,7	10,0	a
Jaqueline	4,0	3,5	3,8	1,2	5,0	d
kléber	10,0	9,5	9,8	0,2	10,0	a
luiz	10,0	9,0	9,5	0,5	10,0	a
Natalha	4,0	10,0	7,0	1,0	8,0	b
Ruany	6,5	2,0	4,5	1,0	5,5	d

aulas

[04/01/16] corpo dos números complexos, plano complexo, forma polar, raízes complexas, propriedades elementares dos números complexos e desigualdades, retas e semiplanos, projeção estereográfica (capítulo 1 do conway) - notas de aula (aula 1)
[05/01/16] topologia do plano complexo: conjuntos abertos e fechados, interior fecho e fronteira, conexidade, sequências e séries de números complexos (resultados selecionados do capítulo 2 do conway) - notas de aula (aula 2)
[07/01/16] Continuidade e continuidade uniforme. convergência uniforme. teste M de weerstrass. séries de potências, raio de convergência. diferenciabilidade e funções analíticas. (parágrafos 1 e 2 do capítulo 3 do conway) - notas de aula (aula3)
[07/01/16] diferenciabilidade de séries de potências e preservação do raio de convergência, exponencial e logarítmo complexo - notas de aula (aula 4)
[11/01/16] Equações de cauchy-riemann e analiticidade. Aplicações. Integrais de linha. regra de leibniz para derivação sob sinal de integração. primeiro teorema de representação de uma função analítica por integral - notas de aula (aula 5)
[12/01/16] representação de funções analíticas por séries de potências. estimativa de cauchy, teorema de liouville, teorema fundamental da álgebra. os zeros de uma função analítica são isolados. notas de aula (aula 6). exercícios para entregar: pág.74 (5, 6, 7, 9, 10, 11) e páG.80 (1, 3, 4, 6, 8, 9).
[14/01/16] teorema do valor médio para funções analíticas, teorema do módulo máximo e do módulo mínimo, pontos críticos de função analíticas são zeros da função ou pontos sela, teorema da aplicaçã aberta e lema de Schwarz. Notas de aula (aula 7). exercícios para entregar: pág.87 (4, 5, 6, 7, 8).
[15/01/16] índice de ua curva em um ponto, o índice é constante nas componentes conexas do complementar da curva, Fórmula integral de cauchy (primeira e segunda versão), teorema de cauchy. Notas de aula (aula 8).
[18/01/16] Teorema de morera. homotopia de curvas, teorema de cauchy (versão homotópica), homotopia de curvas com extremos fixados, independência do caminho de integração, conjuntos simplesmente conexos. Toda função analítica definida em um conjunto simplesmente conexo tem primitiva. notas de aula (aula 9)
[19/01/16] zeros de polinômios e de funções analíticas. singularidades isoladas. singularidade removível e teorema de Riemann para caacterização de singularidades removíveis. nota de aula (aula 10)
[21/01/16] singularidades do tipo polo e essencial, ordem de um polo e teorema de Casorati-Weierstrass. notas de aula (aula 11)
[22/01/16] expansão de Laurent e exemplos, caracterização das singularidades isoladas de uma função a partir de sua série de Laurent. notas de aula (aula 12)
[26/01/16] 1ª prova
[28/01/16] ciclos homólogos e teorema de Cauchy. Contando os zeros de funções analíticas. Teorema dos Resíduos. notas de aula (aula 13)
[29/01/16] Cálculo de integrais reais a partir do teorema dos resíduos: integrais impróprias de funções contínuas na reta toda; e integrais de funções da forma F(cos t, sen t) sobre um círculo. notas de aula (aula 14)
[01/02/16] integrais reais de funções contínuas exceto por um ponto. notas de aula (aula 15)
[02/02/16] não haverá aula
[04/02/16] funções analíticas módulo singularidades isoladas, teorema dos resíduos, funções meromorfas, zeros e polos de funções meromorfas. notas de aula (aula16)
[05/02/16] Funções harmônicas, conjugadas harmônicas, propriedade do valor médio, princípio do máximo. notas de aula (aula 17) exercícios: 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9 e 11 da pág. 255 do Coway
[11/02/16] Núcleo de Poisson e suas principais propriedades. Problema de Dirichlet no disco unitáRIO. notas de aula (aula18)
[12/02/16] notas de aula (aula19)
[15/02/16] (aula 20)
[17/02/16] 2ª prova