prof. alexandre kirilov
departamento de matemática
variáveis complexas - 1º semestre de 2016
listas de exercícios | gabarito das provas | notas da 3ª prova | resultado final | diario de classe
Informações:
| identificação | cm068 - variáveis Complexas |
|---|---|
| Início: | 29 de fevereiro de 2016 |
| Término: | 29 de junho de 2016 |
| Local: | segundas Ph01, quartas PH18 |
| Horário: | segundas e quartas-feiras, das 15h30 às 17h30 |
| c.h.: | 60 horas |
| cursos | matemática industrial e bacharelado em matemática |
Ementa:
Números complexos: operações, módulo, desigualdade triangular, fórmulas de De Moivre. Funções analíticas complexas. Equações de Cauchy Riemann. Integração Complexa. Fórmula integral de Cauchy. Teoremas de Liouville, de Morera e dos Resíduos. Séries de Taylor e de Laurent. Aplicações.
Bibliografia:
Seguiremos bem de perto a apostila do professor Sérgio Luiz zani, do ICMC-USP, disponível para download no seguinte endereço: www.icmc.usp.br/~szani/complexa.pdf
bons Livros em português:
- Nilson Bernardes e Cecília Fernandes
Introdução às Funções de uma Variável Complexa
publicado pela SBM - Marcio Gomes Soares
Cálculo em uma variável complexa
publicado pela SBM
Há muitos outros livros interessante disponíveis na biblioteca e na internet (por exemplo: G. ávila; r. churchill etc) Todos eles tem o que estudaremos nessa disciplina em ordem ligeiramente diferente do que farei em sala de aula.
outros Livros muito bons (em inglês) são os seguintes:
- Bak, Joseph and Newman, Donald J., Complex Analysis, 3 Ed., springer 2010
- Ahlfors, L., Complex Analysis, 3 ed. McGraw-Hill. 1979.
- Conway, John. Functions of one complex variable, 3 ed., GTM11 - Springer-Verlag. 1978.
- Greene, Robert and Krantz, Steven. Function theory of one complex variable. Wiley-Interscience. 1997.
- Krantz, S. G. Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, 1999.
Listas de exercícios
- Primeira lista, 3 de março
- Segunda lista, 14 de março
- terceira lista, 23 de março
- quarta lista, 18 de abril
- quinta lista, 2 de maio
- sexta lista, 3 de junho
- sétima lista, 8 de junho
Avaliação
A nota final levará em conta três avaliações escritas e listas de exercícios.
| Prova | Data | Conteúdo | Prova Aplicada |
|---|---|---|---|
| p1 | 6 de abril | operações aritméticas com complexos; conjugação e módulo; limites e continuidade, derivação complexa, equaçoes de cauchy-riemann e funções analíticas. | prova gabarito |
| p2 | 25 de maio | raízes n-esimas e logaritmos. integração complexa, teorema de cauchy-goursat, fórmula de cauchy, teorema de morera, liouville e fundamental da álgebra, funções harmonicas. | prova gabarito |
| p3 | 20 de junho | séries de potências, zeros de função analítica, séries de laurent, classificação das singularidades isoladas, cálculo de resíduos, cálculo de integrais com o teorema dos resíduos. | prova gabarito |
| final | 11 de julho | todo o conteúdo da disciplina |
resultado final
nota final na disciplina é a média das duas maiores notas
| matricula | nome | 1ª prova |
2ª prova |
3ª prova |
nota final |
resultado final |
faltas | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | GRR20108004 | AMANDA C. | 7,0 | 3,0 | 7,0 | 7,0 | aprov. | 4 |
| 2 | GRR20149126 | BRUNA R. | 7,0 | 2,0 | 7,0 | 7,0 | aprov. | 4 |
| 3 | GRR20137537 | BRUNO F. | 10,0 | 10,0 | 10,0 | 10,0 | aprov. | 7* |
| 4 | GRR20149134 | BRUNO L. | 10,0 | 7,0 | 9,0 | 9,5 | aprov. | 7* |
| 5 | GRR20137540 | CARLOS H. | 10,0 | 9,0 | 10,0 | 10,0 | aprov. | 3 |
| 6 | GRR20149073 | CAROLINA A. | 10,0 | 1,5 | 9,0 | 9,5 | aprov. | 5 |
| 7 | GRR20137543 | CICERO V. | n/c | 10,0 | 3,0 | 6,5 | aprov. | 7* |
| 8 | GRR20096714 | FELIPE R. | 2,0 | 2,5 | 7,5 | 5,0 | aprov. | 5 |
| 9 | GRR20137509 | FERNANDO N. | 10,0 | 6,0 | 8,5 | 9,3 | aprov. | 4 |
| 10 | GRR20149086 | FILLIPE R. | 10,0 | 7,5 | 9,0 | 9,5 | aprov. | 4 |
| 11 | ISO20160178 | GUSTAVO L. | 1,0 | n/c | n/c | 0,5 | reprov. | 20 |
| 12 | GRR20145036 | JAQUELINE A. | 9,0 | 6,0 | 9,5 | 9,2 | aprov. | 6 |
| 13 | GRR20124716 | JOAO B. | 0,0 | n/c | n/c | 0,0 | reprov. | 21 |
| 14 | GRR20149093 | JOAO P. | 9,0 | 1,5 | 7,0 | 8,0 | aprov. | 7* |
| 15 | GRR20137567 | LETICIA G. | 0,0 | n/c | n/c | 0,0 | reprov. | 19 |
| 16 | GRR20149145 | LORAYNE V. | 9,0 | 1,0 | 10,0 | 9,5 | aprov. | 2 |
| 17 | GRR20149104 | LUCAS S. | 10,0 | 10,0 | 10,0 | 10,0 | aprov. | 0 |
| 18 | GRR20149147 | MANUELLA P. | 10,0 | 4,0 | 10,0 | 10,0 | aprov. | 1 |
| 19 | GRR20124710 | MARCELO W. | 1,0 | 8,5 | 10,0 | 9,3 | aprov. | 5 |
| 20 | GRR20096766 | MARCIO P. | 7,0 | n/c | n/c | 3,5 | reprov. | 13 |
| 21 | GRR20149148 | MARLA R. | 7,5 | 10,0 | 9,0 | 9,5 | aprov. | 7 |
| 22 | GRR20137579 | MATHEUS W. | 10,0 | 9,0 | 10,0 | 10,0 | aprov. | 1 |
| 23 | GRR20124644 | PAMELA M. | 3,0 | 3,0 | n/c | 3,0 | reprov. | 18 |
| 24 | GRR20096791 | RAFAEL B. | 2,5 | 1,0 | 7,5 | 5,0 | aprov. | 7 |
| 25 | GRR20137587 | RENATA N. | 10,0 | 10,0 | 5,0 | 10,0 | aprov. | 1 |
| 26 | GRR20108109 | RICHARD W. | 7,0 | 4,0 | 4,0 | 5,5 | aprov. | 5 |
| 27 | GRR20124646 | THAYSE D. | 9,0 | 1,5 | 5,0 | 7,0 | aprov. | 6 |
| 28 | GRR20096820 | VINICIUS M. | 7,0 | 1,0 | 7,0 | 7,0 | aprov. | 7* |
| 29 | GRR20137595 | WILIAN O. | 7,0 | 6,0 | 10,0 | 8,5 | aprov. | 3 |
| 30 | GRR20149132 | YASMIM A. | 10,0 | 10,0 | 2,5 | 10,0 | aprov. | 4 |
Notas parciais
terceira prova (realizada em 20 de junho - correção em breve)
| matricula | nome | 1a | 1b | 2a | 2b | 3a | 3b | 4a | 4b | 4c | soma | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | GRR20108004 | AMANDA C. | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 7,0 |
| 2 | GRR20149126 | BRUNA R. | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 2 | 0 | 7,0 |
| 3 | GRR20137537 | BRUNO F. | 1 | 1 | 1 | 0 | 2 | 2 | 1 | 2 | 1 | 10,0 |
| 4 | GRR20149134 | BRUNO L. | 1 | 0,5 | 0 | 0 | 2 | 2 | 1 | 2 | 0,5 | 9,0 |
| 5 | GRR20137540 | CARLOS H. | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1,5 | 1 | 10,0 |
| 6 | GRR20149073 | CAROLINA A. | 1 | 0,5 | 0 | 0 | 2 | 2 | 1 | 2 | 0,5 | 9,0 |
| 7 | GRR20137543 | CICERO V. | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 3,0 |
| 8 | GRR20096714 | FELIPE R. | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 0,5 | 2 | 1 | 7,5 |
| 9 | GRR20137509 | FERNANDO N. | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 0 | 1 | 1 | 0,5 | 8,5 |
| 10 | GRR20149086 | FILLIPE R. | 1 | 0 | 1 | 0 | 2 | 2 | 1 | 2 | 0 | 9,0 |
| 11 | ISO20160178 | GUSTAVO L. | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | n/c |
| 12 | GRR20145036 | JAQUELINE A. | 1 | 1 | 1 | 1 | 1,5 | 1 | 0 | 2 | 1 | 9,5 |
| 13 | GRR20124716 | JOAO B. | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | n/c |
| 14 | GRR20149093 | JOAO P. | 1 | 1 | 0 | 0 | 2 | 0 | 1 | 1 | 1 | 7,0 |
| 15 | GRR20137567 | LETICIA G. | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | n/c |
| 16 | GRR20149145 | LORAYNE V. | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 10,0 |
| 17 | GRR20149104 | LUCAS S. | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 | 1 | 10,0 |
| 18 | GRR20149147 | MANUELLA P. | 0,5 | 0,5 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 | 1 | 10,0 |
| 19 | GRR20124710 | MARCELO W. | 1 | 1 | 1 | 0 | 2 | 2 | 1 | 2 | 1 | 10,0 |
| 20 | GRR20096766 | MARCIO P. | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | n/c |
| 21 | GRR20149148 | MARLA R. | 1 | 0,5 | 1 | 0,5 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 9,0 |
| 22 | GRR20137579 | MATHEUS W. | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 | 1 | 10,0 |
| 23 | GRR20124644 | PAMELA M. | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | n/c |
| 24 | GRR20096791 | RAFAEL B. | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 0,5 | 2 | 1 | 7,5 |
| 25 | GRR20137587 | RENATA N. | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 1 | 5,0 |
| 26 | GRR20108109 | RICHARD W. | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 1 | 4,0 |
| 27 | GRR20124646 | THAYSE D. | 1 | 1 | 1 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 5,0 |
| 28 | GRR20096820 | VINICIUS M. | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 2 | 1 | 7,0 |
| 29 | GRR20137595 | WILIAN O. | 1 | 0,5 | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 10,0 |
| 30 | GRR20149132 | YASMIM A. | 0 | 1 | 0 | 0 | 0,5 | 0 | 1 | 0 | 0 | 2,5 |
diário de classe e programação das aulas
| Aula | data | conteúdo |
|---|---|---|
| 1 | 29/fev | não houve aula |
| 2 | 02/mar | o corpo dos complexos e sua representação cartesiana. parte real e imaginária de um complexo, conjugação, módulo de um número complexo e divisão de números complexos. |
| 3 | 07/mar | propriedades da conjugação e do módulo (incluindo desigualdades como a triangular) , forma polar de im complexo e significado geométrico do produto e divisão de complexos, formula de De Moivre e potências inteiras de um complexo. |
| 4 | 09/mar | cálculo das raízes n-ésimas de um complexo. raízes da unidade e sua interpretação geométrica como vértices de um poligono regular inscrito no círculo unitário. Rudimentos de topologia do plano complexo (discos, abertos, fechados e fronteira) |
| 5 | 14/mar | funções complexas de váriável complexa, parte real e imáginária, finções polinomiais e racionais, a função exponencial e suas principais propriedades, as funções trigonométricas seno e cosseno (em váriável complexa) e suas principais propriedades. |
| 6 | 16/mar | definição de limite de uma função complexa de váriável complexa. Propriedades aritméticas do limite. Continuidade. Teorema: lim f = lim Re(f) + i.lim im(f). Continuidade das funções exponencial e trigonométricas. |
| 7 | 21/mar | a derivada complexa e exemplos. Derivada da soma, produto por escalar, produto e divisão de funções. Derivadas das funções polinomiais e racionais. as Equações de Cauchy-Riemann. |
| 8 | 23/mar | Se as partes real e imaginária de f(z) e tem derivadas parciais contínuas e satisfazem as equações de cauchy-riemann então f(z) é analitica. Derivadas das funções trigonométricas e da função exponencial. |
| 9 | 28/mar | forma polar das equações de cauchy-riemann. funções analíticas e inteiras. |
| 10 | 30/mar | regra da cadeia. Famílias de curvas ortogonais. Curvas de nível das partes real e imaginária de uma função. |
| 11 | 04/abr | resolução de exercícios |
| 12 | 06/abr | PROVA 1 |
| 13 | 11/abr | função raiz n-ésima e funções multivalentes. |
| 14 | 13/abr | o logaritmo complexo e suas pincipais propriedades. paradoxo de Bernoulli. ramo de logarítmo |
| 15 | 18/abr | potenciação com expoente complexo. |
| 16 | 20/abr | curvas no plano complexo. curvas simples, fechadas, suaves e regulares. vetor velocidade. traço de uma curva. |
| 17 | 25/abr | integração complexa e suas principais propriedades. |
| 18 | 27/abr | teorema de green, teorema de cauchy-goursat. exemplos. |
| 19 | 02/mai | uma "versão topológica" do teorema de cauchy-goursat. |
| 20 | 04/mai | primitiva e indepependência de caminho. |
| 21 | 09/mai | fórmula de cauchy e Fórmula de Cauchy para derivadas |
| 22 | 11/mai | Teoremas de Morera, Liouville e Fundamental da álgebra |
| 23 | 16/mai | funções harmônicas, as partes real e imaginária de uma função analítica são harmônicas. conjugadas harmônicas e cálculo da função analítica que possui arte real ou imaginária dada. |
| 24 | 18/mai | sequências e séries de números complexos. Convergência pontual e absoluta. convergência uniforme e teste m de weierstrass. |
| 25 | 23/mai | exercícios |
| 26 | 25/mai | prova 2 |
| 27 | 30/mai | séries de potências e raio de convergência. Fórmulas para o cálculo do raio de convergência. |
| 28 | 01/jun | uma série de potências com raio de convergência r>0 define uma função contínua, integração e derivação termo a termo de séries de potências. Séries de potências definem funções analíticas. |
| 29 | 06/jun | toda função analítica pode ser representada por uma série de potências (Série de Taylor); os zeros de uma função analítica são isolados, ordem de um zero. |
| 30 | 08/jun | séries de laurent de uma função analítica em um anel. Exemplos mais comuns de séries de envolvendo singularidades em um ponto. |
| 31 | 13/jun | singularidades isoladas. classificação das singularidades isoladas. Identificação do tipo de singularidade via série de Laurent. |
| 32 | 15/jun | Teorema dos reíduos. Fórmulas para cálculo de resíduos em pólos. Cálculo de integrais via resíduos. |
| 33 | 20/jun | PROVA 3 |
| 11/jul | PROVA FINAL |