UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM053 - Álgebra Linear II - Notas de aula Prof. José Carlos Eidam

A Forma Canônica de Jordan

Nestas notas, daremos uma descrição da forma canônica de Jordan de um operador linear em um espaço vetorial de dimensão finita sobre = ou = , bem como algumas aplicações clássicas. Denotaremos por ℒ (V) o espaço dos operadores lineares em V.

Polinômios característico e minimal

Dado T ∈ ℒ (V), dizemos que u ∈ V não-nulo é um autovetor para T se existe λ ∈ tal que Tu = λu. O número λ é chamado de autovalor de T associado (ou correspondente) ao autovetor u. Em todo o texto, denotaremos o operador T − λI por T − λ.

A proposição abaixo é de grande importância prática.

Proposição 1 As seguintes afirmações são equivalentes a respeito de λ ∈ :

Existe u ∈ V não-nulo tal que Tu = λu.

T − λ não é inversível.

det(T − λ) = 0.

Prova. A equivalência entre e decorre do fato que um operador V → V é inversível se e só se é injetor. A equivalência entre e decorre do fato que um operador tem determinante zero se e só se não é inversível.

A proposição anterior mostra que os autovalores de T são raízes da equação polinomial de grau n

det(T − λ) = 0 .  (1)

Como sabemos, uma tal equação possui, no máximo, n raízes. Abusando um pouco da linguagem, vamos chamar de autovalor de T qualquer raiz da equação (1). O conjunto de soluções da equação (1) é chamado de espectro de T e denotado por Σ(T). O polinômio p_{T}(λ) = det(T − λ) é chamado de polinômio característico de T. A multiplicidade algébrica de um autovalor de T é sua multiplicidade como raiz da equação (1). O autoespaço associado ao autovalor λ é o espaço ker(T − λ). A dimensão deste último espaço é chamada de multiplicidade geométrica do autovalor λ.

Um operador é dito diagonalizável se existe uma base de V formada exclusivamente por autovetores de T. Neste caso, a matriz de T em relação à esta base tem todas as entradas nulas, exceto, possivelmente, ao longo da diagonal, onde aparecem os autovalores de T.

Seja [X] o conjunto de todos os polinômios com coeficientes em munido das operações usuais de soma e produto de polinômios. Dado p(X) = a_{0} + a_{1}X + …+ a_{k}X^{k} ∈ [X] e T ∈ ℒ (V), definimos p(T) = a_{0}I + a_{1}T + … + a_{k}T^{k} ∈ ℒ (V). O leitor pode verificar sem dificuldade que (p + q)(T) = p(T) + q(T) e (pq)(T) = p(T)q(T), para quaisquer p, q ∈ [X].

Lema 2 Existe q ∈ [X] não-nulo tal que q(T) = 0.

Prova. Como dim ℒ (V) = n^{2}, o conjunto {I, T, …, T^{n^{2}}} é linearmente dependente. Portanto, existem a_{0}, …, a_{n^{2}} ∈ não todos nulos tais que a_{0}I + a_{1}T + …+ a_{n^{2}}T^{n^{2}} = 0. Tomando q(X) = a_{0} + a_{1}X + …+ a_{n^{2}}X^{n^{2}}, temos que q(T) = 0.

Considere o conjunto I = {q ∈ [X] : q(T) = 0 }. Evidentemente, este conjunto é um ideal não-trivial de [X], e portanto, existe um único polinômio mônico q_{T} ∈ I tal que todo q ∈ I é da forma q = q_{T}q_{1} para algum q_{1} ∈ F[X]. O polinômio q_{T} é chamado de polinômio minimal de T e é caracterizado pelas seguintes propriedades:

q_{T}(T) = 0;

Se q(T) = 0 então q_{T} divide q.

A proposição a seguir relaciona o polinômio característico e o polinômio minimal de T.

Proposição 3 Seja T ∈ ℒ (V) e λ ∈ . Então p_{T}(λ) = 0 se e só se q_{T}(λ) = 0.

Prova. Se q_{T}(λ) = 0, então existe q ∈ [X] tal que q_{T}(X) = (X − λ)q(X). Logo, 0 = q_{T}(T) = (T − λ)q(T). Como q tem grau estritamente menor que o grau de q_{T}, segue da definição de q_{T} que q(T) 0. Em particular, existe u ∈ V tal que v = q(T)u 0, e portanto, (T − λ)v = 0. Logo, λ é autovalor de T e p_{T}(λ) = 0.

Reciprocamente, admitamos que q_{T}(λ) 0. Pelo algoritmo da divisão, existem q ∈ [X] e α ∈ tais que q_{T}(X) = (X − λ)q(X) + α. Calculando em T, temos que (T − λ)q(T) + αI = 0. Como α = q_{T}(λ) 0, então (T − λ)^{−1} = −q(T)/α, e portanto, λ não é autovalor de T.

Veremos adiante que, não só os polinômios característico e minimal têm as mesmas raízes como também q_{T} divide p_{T}, ou equivalentemente, p_{T}(T) = 0. Este fato é chamado de Teorema de Cayley-Hamilton.

Podemos definir os polinômios característico e minimal de qualquer matriz A ∈ M_{n}( ) pondo p_{A} = p_{T} e q_{A} = q_{T}, onde T é qualquer operador linear em um espaço vetorial n-dimensional sobre cuja matriz em relação a alguma base de V é A. Esta definição é independente de T, pois qualquer outro operador S em V com a mesma propriedade deve ser da forma S = UTU^{−1} para algum operador inversível U ∈ ℒ (V). Evidentemente, p_{S} = p_{T} e q_{S} = q_{T}. Estas afirmações nos permitem falar indistintamente sobre polinômios característico e minimal tanto para matrizes quanto para operadores lineares.

Exemplo 4 Considere os operadores T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4} ∈ ℒ ( ^{2}) cujas matrizes em relação à base canônica são ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 4 & 2 \end{matrix}), ( \begin{matrix}2 & 1 \\ −1 & 4 \end{matrix}), ( \begin{matrix}0 & 2 \\ −1 & 2 \end{matrix}) e ( \begin{matrix}−2 & 0 \\ 0 & −2 \end{matrix} ), respectivamente.

Temos que p_{T_{1}}(λ) = q_{T_{1}}(λ) = (λ − 1)(λ − 2), p_{T_{2}}(λ) = q_{T_{2}}(λ) = (λ − 3)^{2}, p_{T_{3}}(λ) = q_{T_{3}}(λ) = λ^{2} − 2λ + 2 = (λ − (1 + i))(λ − (1 − i)) e p_{T_{4}}(λ) = (λ + 2)^{2} e q_{T_{4}}(λ) = λ + 2. Vemos que Σ(T_{1}) = {1, 2}, Σ(T_{2}) = {3}, Σ(T_{3}) = {1 + i, 1 − i} e Σ(T_{4}) = {−2}.

Exemplo 5 Considere os operadores T_{5}, T_{6} ∈ ℒ ( ^{3}) cujas matrizes em relação à base canônica são

( \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ −1 & 0 & 2 \\ −1 & −1 & 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 1 \\ −1 & 0 & 2 \end{matrix} ) ,

respectivamente. Temos que p_{T_{5}}(λ) = q_{T_{5}}(λ) = p_{T_{6}}(λ) = (λ − 1)^{2}(λ − 2) e q_{T_{6}}(λ) = (λ − 1)(λ − 2).

Subespaços Invariantes

Um subespaço W ⊂ V é dito invariante se T(W) ⊂ W. Exemplos evidentes de subespaços invariantes são o próprio V, o espaço trivial {0}, o núcleo e a imagem de T. A existência de subespaços invariantes é uma questão de grande relevância no estudo de um operador linear. Para tratar adequadamente o assunto, introduzimos o conceito de subespaços independentes.

Uma família de subespaços W_{1}, …, W_{k} ⊂ V é dita independente se sempre que tivermos w_{1} + …+ w_{k} = 0 com w_{i} ∈ W_{i} para i = 1, …, k, então necessariamente w_{1} = …= w_{k} = 0. O leitor pode verificar sem dificuldade a seguinte proposição.

Proposição 6 Sejam W_{1}, …, W_{k} subespaços de V e suponhamos que V = W_{1} + … + W_{k}. As seguintes afirmações são equivalentes:

W_{1}, …, W_{k} são independentes.

Cada w ∈ V se escreve de maneira única como w = w_{1} + …+ w_{k}, com w_{i} ∈ W_{i}, para cada i = 1, …, k.

W_{j} ∩ (W_{1} + …+ Ŵ_{j} + …+ W_{k}) = {0} para cada j = 1, …, k.

Se ℬ_{1}, …, ℬ_{k} são bases para W_{1}, …, W_{k}, respectivamente, então ℬ_{1} ∪ …∪ ℬ_{k} é uma base de V.

Neste caso, escrevemos V = W_{1} ⊕ …⊕ W_{k}.

A uma decomposição V = W_{1} ⊕ …⊕ W_{k} ficam associados operadores P_{1}, …, P_{k} definidos como P_{j}(w) = w_{j}, onde

w = w_{1} + …+ w_{k}  (2)

com w_{i} ∈ W_{i}, i = 1, …, k. Como já observamos oportunamente, a unicidade da decomposição (2) implica que cada P_{j} é um operador linear com imagem W_{j}. De fato, cada P_{j} é uma projeção com imagem W_{j}, i.e., P_{j}^{2} = P_{j}, para j = 1, …, k. É evidente que P_{i}P_{j} = 0 se i j e que P_{1} + …+ P_{k} = I. Estes fatos são destacados a seguir.

Proposição 7 Dada uma decomposição V = W_{1} ⊕ …⊕ W_{k}, existem únicos operadores lineares P_{1}, …, P_{k} ∈ ℒ (V) tais que:

P_{i}P_{j} = δ_{ij}P_{i} para todos i, j = 1, …, k;

P_{1} + …+ P_{k} = I;

ImP_{j} = W_{j} para cada j = 1, …, k.

As projeções P_{1}, …, P_{k} são chamadas projeções associadas à decomposição V = W_{1} ⊕ …⊕ W_{k}. A proposição a seguir descreve uma situação particularmente importante.

Proposição 8 Seja V = W_{1}⊕…⊕W_{k}uma decomposição de V e P_{1}, …, P_{k}as projeções associadas. São equivalentes as seguintes afirmações:

W_{j} é invariante por T, para todo j = 1, …, k.

TP_{j} = P_{j}T, para todo j = 1, …, k.

Prova. É evidente que se TP_{j} = P_{j}T então dado u ∈ W_{j}, temos Tu = TP_{j}u = P_{j}Tu, portanto, Tu ∈ ImP_{j} = W_{j}.

Reciprocamente, suponhamos que T(W_{j}) ⊂ W_{j} para cada j = 1, …, k. Como

TP_{1} + …+ TP_{k} = T = P_{1}T + …P_{k}T ,

segue que (TP_{1} − P_{1}T) + …+ (TP_{k}− P_{k}T) = 0. Como ImTP_{j} ⊂ W_{j}, segue que Im(TP_{j} − P_{j}T) ⊂ W_{j} para j = 1, …, k. O resultado segue da independência de W_{1}, …, W_{k}.

No lema a seguir, consideramos uma família muito importante de subespaços independentes associados a um operador linear.

Lema 9 Se T ∈ ℒ (V), λ_{1}, …, λ_{k} ∈ são autovalores distintos de T e W_{j} = ker(T − λ_{j}), para j = 1, …, k, então W_{1}, …, W_{k} é uma família independente de subespaços.

Prova. Provemos este fato por indução em k. Para k = 1 é evidente, pois W_{1} {0}. Admitindo que W_{1}, …, W_{k−1} é independente, tomemos w_{i} ∈ W_{i}, i = 1, …, k, tais que w_{1} + … + w_{k} = 0. Aplicando T − λ_{k} à última igualdade, temos que (λ_{1} − λ_{k})w_{1} + …+ (λ_{k−1} − λ_{k})w_{k−1} = 0. Por hipótese indutiva, concluímos que w_{1} = … = w_{k−1} = 0 e isso implica que w_{k} = 0, como queríamos.

A próxima proposição dá uma caracterização para um operador diagonalizável.

Proposição 10 Seja T ∈ ℒ (V) diagonalizável e λ_{1}, …, λ_{k} ∈ seus autovalores distintos. Existem projeções P_{1}, …, P_{k} tais que

T = λ_{1}P_{1} + …+ λ_{k}P_{k};

P_{1} + …+ P_{k} = I;

P_{i}P_{j} = 0 se i j;

ImP_{j} = ker(T − λ_{j});

TP_{j} = P_{j}T, para cada j = 1, …, k.

Reciprocamente, se existem projeções satisfazendo as condições acima, então T é diagonalizável e seus autovalores são λ_{1}, …, λ_{k}.

Prova. Seja W_{j} = ker(T − λ_{j}), j = 1, …, k. Como T é diagonalizável, então W_{1} + …+ W_{k} = V. Pelo lema (9), W_{1}, …, W_{k} são independentes, portanto, o resultado segue das proposições (7) e (8).

Embora o polinômio minimal de um operador seja mais difícil de determinar que o seu polinômio característico, existe um caso em que a situaçãoé bastante simples, como descrevemos na proposição a seguir.

Proposição 11 Se T é diagonalizável e λ_{1}, …, λ_{k} são seus autovalores distintos, então q_{T}(λ) = (λ − λ_{1}) · . . .· (λ − λ_{k}).

Prova. Mantenhamos a notação da proposição anterior e definamos q(λ) = (λ−λ_{1})·. . .·(λ−λ_{k}). Temos que

q(T)u = (T − λ_{1}) · . . .· (T − λ_{k})(u_{1} + …+ u_{k})
= ∑_{j=1}^{k} (T − λ_{1}) · . . .· { \atop (T − λ_{j})} · . . .· (T − λ_{k})(T − λ_{j})u_{j} = 0 .

Isso mostra que q_{T} divide q. Para mostrar que q_{T} = q, basta mostrar que nenhum polinômio da forma p(X) = (X − λ_{1}) · . . .{ \atop (X − λ_{j})} · . . .· (X − λ_{k}) anula T. Fixando um tal p e tomando u ∈ W_{j} não-nulo, temos que

p(T)u = (∏_{i j} (λ_{j} − λ_{i})) u 0 .

Mais adiante, veremos que é verdadeira a recíproca desta última proposição: se q_{T} é um produto de fatores lineares então q_{T} é diagonalizável.

Exemplo 12 Consideremos os operadores T_{1}, T_{2}, T_{3} e T_{4} do exemplo (4). Temos que T_{2} não é diagonalizável, pois seu polinômio minimal têm raízes repetidas. O operador T_{3} do referido exemplo também não é diagonalizável (sobre ), pois seus autovalores não pertencem a = . Tal operadoré diagonalizável quando consideramos sua ação sobre ^{2}. No caso de T_{1}, podemos mostrar imediatamente que dim ker(T_{1}−1) = dim ker(T_{1}−2) = 1, e portanto, T_{1} é diagonalizável. Obviamente, T_{4} = −2I é diagonalizável.

Exemplo 13 O operador T_{5} do exemplo (5) não é diagonalizável, pois seu polinômio minimal tem raízes repetidas. O operador T_{6} do mesmo exemplo é diagonalizável, pois um cálculo simples mostra que dim ker(T_{6} − 1) = 2 e dim ker(T_{6} − 2) = 1.

Triangularização de operadores

Embora nem todo operador linear seja diagonalizável, existe uma propriedade mais fraca que é verificada em uma grande variedade de casos. Suponhamos que

{0} = W_{0} ⊂ W_{1} ⊂ …⊂ W_{r} = V  (3)

seja uma sequência de subespaços invariantes para T. Dada uma base ℬ_{1} de W_{1}, podemos completá-la a uma base de ℬ_{2}, a qual pode ser completada a uma base ℬ_{3} de W_{3} e assim por diante até obtermos uma base ℬ_{r} de W_{r} = V. A matriz de T em relação à ℬ_{r} é a matriz triangular superior

( \begin{matrix}λ_{1} & & … \\ 0 & λ_{2} & … \\ 0 & 0 & … \\ ⋮ & ⋮ & … \\ 0 & 0 & … & λ_{n} \end{matrix} ) .

Comparando os polinômios característicos de T e da matriz acima, concluímos que os números λ_{1}, …, λ_{n} são exatamente os autovalores de T, contados de acordo com sua multiplicidade. Em particular, se T é triangularizável então Σ(T) ⊂ .

Definição 14 Um operador T ∈ ℒ (V) que admite uma sequência de subespaços como em (3) é dito triangularizável.

Proposição 15 Dado T ∈ ℒ (V), temos que T é triangularizável se e só se Σ(T) ⊂ .

Prova. Provemos o resultado por indução sobre a dimensão de V. Se dim V = 1, o resultado é óbvio.

Fixado n > 1, suponhamos o resultado válido para todo os operadores em espaços de dimensão menor que n. Decorre diretamente da definição do polinômio característico que λ ∈ Σ(T) se e só se λ ∈ Σ(T^{t}). Assim, fixemos λ ∈ Σ(T) e tomemos φ ∈ V^{∗} não-nulo tal que T^{t}φ = λφ. Pondo W = ker φ, segue que W é invariante por T e dim W = n − 1. Podemos aplicar a hipótese indutiva a T|_{W} e obter subespaços {0} = W_{0} ⊂ W_{1} ⊂ … ⊂ W_{r} = W invariantes por T. Basta definir W_{r+1} = V e observar que {0} = W_{0} ⊂ W_{1} ⊂ … ⊂ W_{r} ⊂ W_{r+1} = V são subespaços invariantes por T.

Observação 16 Decorre da prova da proposição (15) que, dado T ∈ ℒ (V) tal que Σ(T) ⊂ , sempre existem subespaços invariantes por T de dimensões 1 e n − 1.

Corolário 17 (Cayley-Hamilton) Se Σ(T) ⊂ então p_{T}(T) = 0.

Prova. Pela proposição (15) e pelos comentários que antecedem a definição (14), obtemos uma base {u_{1}, …, u_{n}} de V tal que Tu_{j} = λ_{j}u_{j} + v_{j−1} , onde v_{j−1} é combinação linear de u_{1}, …, u_{j−1} , para j > 1 e v_{0} = 0. Além disso, o polinômio característico de T é p_{T}(λ) = (−1)^{n}(λ − λ_{1}) · . . .· (λ − λ_{n}). Logo, denotando por W_{i} o subespaço gerado por {u_{1}, …, u_{i}}, i > 0, e W_{0} = {0}, temos que (T − λ_{i})(W_{i}) ⊂ W_{i−1}, para 1 ≤ i ≤ n. Disso,

Imp_{T}(T) = (T − λ_{1}) · . . .· (T − λ_{n})(W_{n})
= (T − λ_{1}) · . . .· (T − λ_{n−1})(W_{n−1}) = …
= (T − λ_{1})(W_{1}) = {0} .

Corolário 18 Se λ_{1}, …, λ_{n} ∈ são os autovalores de T contados de acordo com sua multiplicidade então trT = ∑ _{j=1}^{n} λ_{j}.

O teorema de Cayley-Hamilton e o corolário (18) valem em geral, sem assumirmos que Σ(T) ⊂ , conforme veremos oportunamente.

Exercícios

1. Mostre que se dim V = n e λ_{1}, …, λ_{n} ∈ são autovalores distintos para T, então T é diagonalizável.

2. Ache uma base de V = ^{n} formada por autovetores do operador cuja matriz na base canônica é:

( \begin{matrix}2 & 3 \\ −1 & 1 \end{matrix} )

( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} )

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \end{matrix} )

( \begin{matrix}−9 & 4 & 4 \\ −8 & 3 & 4 \\ −16 & 8 & 7 \end{matrix} )

3. Seja V um espaço vetorial sobre e T ∈ ℒ (V).

(a) Mostre que se λ ∈ Σ(T) se e só se \overline{λ} ∈ Σ(T).

(b) Conclua que nas circunstâncias do enunciado, T possui uma quantidade par de autovalores complexos.

4. Mostre que se V é um espaço vetorial sobre de dimensão ímpar então todo T ∈ ℒ (V) tem pelo menos um autovalor real.

5. Mostre que p_{T} = p_{T^{t}} e q_{T} = q_{T^{t}} para qualquer T ∈ ℒ (V).

6. Seja S ∈ ℒ (V).

(a) Mostre que {0} ⊂ ker S ⊂ ker S^{2} ⊂ …e V ⊃ ImT ⊃ ImT^{2} ⊃ ImT^{3} ⊃ . . ..

(b) Mostre que se ker S^{n} = ker S^{n+1} então ker S^{n} = ker S^{n+k} para qualquer inteiro positivo k. Prove um resultado análogo para a ImT^{n}.

(c) Mostre que existe um menor inteiro positivo n tal que ker S^{n} = ker S^{n+1}. Nestas circunstâncias, verifique que ker S^{k} ker S^{k+1} para todo k < n. Prove um resultado análogo para ImT^{n}.

7. Dado T ∈ ℒ (V) tal que Σ(T) ⊂ , mostre que

∑_{j=1}^{k} λ_{j}^{2} = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}a_{ji} ,

onde (a_{ij}) é a matriz de T em relação a uma base qualquer de V. Encontre uma expressão semelhante para ∑ _{j=1}^{k} λ_{j}^{3}.

8. Dado T ∈ ℒ (V) e λ ∈ um autovalor de T, mostre que a multiplicidade geométrica de λ é sempre menor ou igual que sua multiplicidade algébrica. Encontre exemplos em que ocorra a desigualdade estrita.

O Teorema da Decomposição Primária

Nesta seção, vamos enunciar e provar um resultado que generaliza as proposições (7) e (11) para o caso de um operador linear qualquer, não necessariamente diagonalizável. Vamos obter uma decomposição de V em subespaços invariantes bastante semelhante àquela obtida nas referidas proposições.

Teorema 19 (Decomposição Primária) Sejam T ∈ ℒ (V) e p_{1}, …, p_{k} ∈ [X] polinômios mônicos tais que q_{T} = p_{1} · . . .· p_{k} e mdc(p_{1}, …, p_{k}) = 1. Então existe uma decomposição

V = W_{1} ⊕ …⊕ W_{k}

tal que:

W_{j} = ker p_{j}(T);

Cada W_{j} é invariante por T;

O polinômio minimal de T_{j} = T|_{W_{j}} : W_{j} → W_{j} é p_{j}, para cada j = 1, …, k.

Prova. Seja q_{j} = p_{1}·. . .·p̂_{j}·. . .·p_{k}, j = 1, …, k. Como mdc(q_{1}, …, q_{k}) = 1, existem f_{1}, …, f_{k} ∈ [X] tais que f_{1}q_{1}+…+f_{k}q_{k} = 1. Definindo g_{j} = f_{j}q_{j} e P_{j} = g_{j}(T) para j = 1, …, k, temos P_{1}+…+P_{k} = I, pois g_{1} + …+ g_{k} = 1. Como q_{T} divide g_{i}g_{j}, temos que P_{i}P_{j} = 0 para i j. Além disso, para qualquer i = 1, …, k, temos P_{i} = P_{i}(P_{1} + …+ P_{k}) = P_{i}P_{1} + …+ P_{i}P_{k} = P_{i}^{2}.

Mostremos que ker p_{j}(T) = ImP_{j}, para j = 1, …, k. Dado u ∈ ImP_{j}, temos que

p_{j}(T)u = p_{j}(T)f_{j}(T)q_{j}(T)u = f_{j}(T)q_{T}(T)u = 0 .

Logo, ImP_{j} ⊂ ker p_{j}(T). Reciprocamente, dado i j, como p_{j} divide g_{i} = f_{i}q_{i}, temos que p_{j}(T)u = 0 implica P_{i}u = g_{i}(T)u = 0. Assim, u = P_{1}u + …+ P_{k}u = P_{j}u ∈ ImP_{j}. Como T comuta com p_{j}(T), concluímos que W_{j} é invariante por T.

Resta provar que o polinômio minimal de T_{j} é p_{j}. Evidentemente, p_{j}(T_{j}) = 0. Além disso, se q(T_{j}) = 0, então (qq_{j})(T) = q(T)q_{j}(T) = 0. Isso mostra que q_{T} divide qq_{j}, e portanto, p_{j} divide q. Logo, p_{j} é o polinômio minimal de T_{j}.

Corolário 20 Se o polinômio minimal de T é produto de fatores lineares (i.e., de grau 1) então T é diagonalizável.

Observação 21 O teorema da decomposição primária é normalmente enunciado considerando q_{T} = p_{1}^{r_{1}} · . . .· p_{k}^{r_{k}} a fatoração de q_{T} como produto de irredutíveis. A forma enunciada aqui é mais adequada aos nossos propósitos.

Mantendo a notação do teorema anterior, admitamos que todos os autovalores de T pertencem a . Isto sempre ocorre se = (pelo teorema fundamental daálgebra) e no caso = , isso significa que todos os autovalores de T são reais. Podemos obter uma decomposição de q_{T} como no teorema da decomposição primária com os polinômios p_{1}, …, p_{k} da forma p_{j}(X) = (X − λ_{j})^{r_{j}}, com λ_{j} ∈ Σ(T) e r_{j} inteiro positivo. Seja D = λ_{1}P_{1} + …+ λ_{k}P_{k}, onde P_{1}, …, P_{k} são as projeções associadas à decomposição V = W_{1} ⊕ …⊕ W_{k}. Pondo N = T − D, temos

N = T(P_{1} + …+ P_{k}) − (λ_{1}P_{1} + …+ λ_{k}P_{k})
= (T − λ_{1})P_{1} + …+ (T − λ_{k})P_{k}.

O operador acima tem a propriedade que N^{m} = 0 para qualquer m ≥ max{r_{1}, …, r_{k}}. Operadores deste tipo recebem uma denominação especial.

Definição 22 Um operador linear N ∈ ℒ (V) é dito nilpotente se existe um inteiro positivo m tal que N^{m} = 0. O menor inteiro positivo com esta propriedade é chamado de índice de nilpotência de N e denotado por n(T). Uma definição inteiramente análoga vale para uma matriz A ∈ M_{n}( ) em lugar de um operador T ∈ ℒ (V).

Oportunamente estudaremos mais a fundo a natureza dos operadores nilpotentes, mas, por hora, nos contentaremos em observar que o operador N = T − D é nilpotente e comuta com D. Esta última afirmação decorre diretamente da definição de D.

Lema 23 Sejam D, D′operadores diagonalizáveis que comutam. Então D − D′é diagonalizável.

Prova. Como D, D′ comutam, segue que W_{λ} = ker(D′− λ) é um subespaço invariante para D. O polinômio minimal de D_{λ} = D|_{W_{λ}} divide q_{D}, e portanto, como este último é produto de fatores lineares, segue que q_{D_{λ}} é um produto de fatores lineares. Em particular, pelo corolário (20), concluímos que D_{λ} é diagonalizável. Logo, existe uma base de W_{λ} formada por autovetores de D_{λ}. Variando λ em Σ(D′) e reunindo todas as bases assim obtidas, podemos construir uma base de V formada por autovetores de D e D′. Em particular, D − D′ é diagonalizável.

A proposição a seguir é de grande importância teórica.

Proposição 24 Se T ∈ ℒ (V) e Σ(T) ⊂ então existem únicos operadores D, N ∈ ℒ (V) tais que

T = D + N;

D é diagonalizável e N é nilpotente;

DN = ND.

Prova. Falta provar apenas a unicidade. Suponhamos que T = D′+N′seja outra decomposição de T com as propriedades acima. Então D − D′ = N′ − N. Pela demonstração do teorema da decomposição primária, cada P_{j} e portanto, D é um polinômio em T. Isso implica que os operadores D, N, D′, N′ comutam entre si, e portanto, D − D′ é diagonalizável, pelo lema (23). Como N e N′ comutam, temos

(N′− N)^{r} = ∑_{j=0}^{r} (−1)^{j} \binom{r}{j}N^{′j}N^{r−j} .

Se r ≥ n(N) + n(N′), concluímos que (N − N′)^{r} = 0, portanto N − N′ é nilpotente. Em particular, o polinômio minimal de N′ − N = D − D′ é da forma λ^{l}. Como D − D′ é diagonalizável, seu polinômio minimal não pode possuir raízes repetidas, logo, l = 1 e portanto, N = N′ e D = D′.

Os operadores D e N construídos na última proposição podem ser pensados como a parte diagonal e a parte nilpotente de T. O operador N mede, em um certo sentido, quanto o operador T deixa de ser diagonalizável.

Exemplo 25 O teorema da decomposição primária aplicado ao operador T_{5} do exemplo (5) mostra que ^{3} = ker(T_{5} − I)^{2} ⊕ ker(T_{5} − 2I). O primeiro espaço tem dimensão 2 e o segundo tem dimensão 1. Evidentemente, ker(T_{5} − I) ⊂ ker(T_{5} − I)^{2}, e dim ker(T_{5} − I) = 1. Sob este ponto de vista, o teorema da decomposição primária nos diz que podemos aumentar convenientemente os autoespaços ker(T − λ) correspondentes aos autovalores de um operador T ∈ ℒ (V) de forma que a soma direta destes espaços aumentados seja V.

Quando trabalhamos com a decomposição dada pelo teorema da decomposição primária, é fundamental conhecermos a dimensão de cada um dos espaços W_{j}. Para isso, suponhamos que q_{T}(λ) = (λ − λ_{1})^{r_{1}} · . . .· (λ − λ_{k})^{r_{k}} e p_{T}(x) = (λ − λ_{1})^{d_{1}} · . . .· (λ − λ_{k})^{d_{k}}, com λ_{1}, …, λ_{k} ∈ .

Evidentemente, pelo teorema de Cayley-Hamilton, r_{j} ≤ d_{j} para cada j = 1, …, k. O teorema da decomposição primária nos dá uma decomposição V = W_{1} ⊕ …⊕ W_{k} com W_{j} = ker(T − λ_{j})^{r_{j}}, tal que o polinômio minimal de T_{j} = T|_{W_{j}} é (λ − λ_{j})^{r_{j}}, para cada j = 1, …, k. Como p_{T_{j}} e q_{T_{j}} têm as mesmas raízes, concluímos que p_{T_{j}}(λ) = (λ − λ_{j})^{s_{j}}, onde s_{j} = dim W_{j}, j = 1, …, k. Pela invariância de cada W_{j}, vemos que o p_{T}(λ) = p_{T_{1}}(λ) · . . .· p_{T_{k}}(λ) = (λ − λ_{1})^{s_{1}} · . . .· (λ − λ_{k})^{s_{k}}, donde segue que dim W_{j} = s_{j} = d_{j}.

Outra questão interessante é saber, nas hipóteses do parágrafo anterior, quando a cadeia de subespaços

{0} ⊂ ker(T − λ_{j}) ⊂ ker(T − λ_{j})^{2} ⊂ ker(T − λ_{j})^{3} ⊂ …  (4)

estaciona.^{1} Para isso, seja u ∈ V tal que (T−λ_{j})^{m}u = 0 para um certo inteiro positivo m. Escrevendo u = u_{1} + …+ u_{k}, com u_{j} ∈ W_{j}, temos que 0 = (T − λ_{j})^{m}u = (T − λ_{j})^{m}u_{1} + …+ (T − λ_{j})^{m}u_{k}. Como cada parcela da última soma pertence ao espaço W_{j} correspondente, segue que (T − λ_{j})^{m}u_{j} = 0 para cada j = 1, …, k. Como o polinômio minimal de T|_{W_{j}} é (λ − λ_{j})^{r_{j}}, temos que a restrição do operador T − λ_{j} a W_{i} é inversível se i j, e portanto, u_{i} = 0 para cada i j. Em particular, u = u_{j} ∈ W_{j}, ou seja, (T − λ_{j})^{r_{j}}u = 0. Assim, a cadeia (4) estaciona exatamente na r_{j}-ésima posição. Estes argumentos provam a seguinte proposição.

Proposição 26 Seja T ∈ ℒ (V) tal que q_{T}(λ) = (λ−λ_{1})^{r_{1}}·. . .·(λ−λ_{k})^{r_{k}} e p_{T}(x) = (λ−λ_{1})^{d_{1}}·. . .·(λ−λ_{k})^{d_{k}}, com λ_{1}, …, λ_{k} ∈ . Então

dim ker(T − λ_{j})^{r_{j}} = d_{j} e

ker(T − λ_{j})^{r_{j}} = ⋃ _{l=1}^{∞} ker(T − λ_{j})^{l}.

O espaço W(λ_{j}) ⋃ _{l=1}^{∞} ker(T − λ_{j})^{l} que aparece na proposição acima é chamado de autoespaço generalizado associado ao autovalor λ_{j}. O teorema da decomposição primária para um operador satisfazendo as hipóteses da referida proposição pode ser reenunciado da seguinte forma: O espaço V é a soma direta dos autoespaços generalizados associados aos autovalores de T. Vemos que a dimensão de W(λ_{j}) = W_{j} é a multiplicidade algébrica do autovalor λ_{j}, para cada j = 1, …, k.

Operadores Nilpotentes

Nesta seção, vamos estudar alguns resultados importantes sobre operadores nilpotentes.

Definição 27 Dado T ∈ ℒ (V), um subespaço W ⊂ V é dito cíclico se existe u ∈ W e um inteiro positivo m tal que T^{m}u = 0 e {u, Tu, …, T^{m−1}u} é base de W. Em particular, W é invariante por T e a matriz de T|_{W} em relação à base {u, Tu, …, T^{m−1}u} é

( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & … & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & … & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & 1 & 0 \end{matrix} ) .  (5)

Caso W = V, dizemos que u é um vetor cíclico para T. A matriz (5) será denotada por N_{m}.

1Como a V tem dimensão finita, a referida cadeia sempre estaciona, i.e., existe um inteiro positivo m tal que ker(T − λ_{j})^{m} = ker(T − λ_{j})^{m+1} = . . ..

A proposição a seguir é importante no estudo da estrutura de um operador nilpotente.

Proposição 28 Se T^{m}u = 0 mas T^{m−1}u 0, então {u, Tu, …, T^{m−1}u} é linearmente independente.

Prova. Sejam α_{0}, …, α_{m−1} escalares tais que α_{0}u + α_{1}Tu + …+ α_{m−1}T^{m−1}u = 0. Aplicando T^{m−1} à última igualdade, concluímos que α_{0} = 0. Aplicando T^{m−2} à igualdade α_{1}Tu+…+α_{m−1}T^{m−1}u = 0, concluímos que α_{2} = 0. Repetindo o procedimento, temos que α_{0} = α_{1} = …= α_{m−1} = 0.

Corolário 29 Se T ∈ ℒ (V) é nilpotente então n(T) ≤ n. Se n(T) = n então existe uma base de V em relação à qual a matriz de T é N_{n}.

Evidentemente, se ué um vetor cíclico para T então n(T) = n. Isso limita bastante a existência de vetores cíclicos para operadores nilpotentes, mas ainda assim é possível estudar a fundo a estrutura de um operador nilpotente. O lema a seguir, cuja demonstraçãoé evidenteé o primeiro passo nessa direção.

Lema 30 Se T : V → W é um operador linear e {u_{1}, …, u_{k}} e {Tv_{1}, …, Tv_{l}} são bases de ker T e ImT, respectivamente, então {u_{1}, …, u_{k}, v_{1}, …, v_{l}} é uma base de V.

Analisemos alguns casos simples. Se T ∈ ℒ (V) é nilpotente e n(T) = 2, então ImT ⊂ ker T. Portanto, podemos estender uma base {Tv_{1}, …, Tv_{k}} de ImT a uma base {Tv_{1}, …, Tv_{k}, u_{1}, …, u_{l}} de ker T. Pelo lema (30), {v_{1}, Tv_{1}, …, v_{k}, Tv_{k}, u_{1}, …, u_{l}}é uma base de V. A matriz de T em relação à esta última base é

( \begin{matrix}( & 0 0 1 0 & ) \\ & & & . & . & . \\ & & & & & & ( & 0 0 1 0 & ) \\ & & & & & & & & & 0 \\ & & & & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & & & & 0 \end{matrix} ) .

Ao longo da diagonal, esta última matriz tem k blocos da forma ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}), após os quais aparecem l zeros. As demais entradas são todas nulas. Obtemos assim k subespaços cíclicos de dimensão 2 e l subespaços cíclicos de dimensão 1.

Suponhamos agora que T ∈ ℒ (V) é nilpotente de índice 3. Como T|_{ImT} : ImT → ImT é nilpotente de índice 2, a argumentação anterior nos fornece uma base para ImT da forma

{Tv_{1}, T^{2}v_{1}, …, Tv_{k}, T^{2}v_{k}, Tu_{1}, …, Tu_{l}} ,

de forma que Tu_{1}, …, Tu_{l} ∈ ker T. Como {T^{2}v_{1}, …, T^{2}v_{k}, Tu_{1}, …, Tu_{l}} é um subconjunto linearmente independente de ker T, podemos completá-lo a uma base

{T^{2}v_{1}, …, T^{2}v_{k}, Tu_{1}, …, Tu_{l}, w_{1}, …, w_{m}}

de ker T. Pelo lema (30), o conjunto

{v_{1}, Tv_{1}, T^{2}v_{1}, …, v_{k}, Tv_{k}, T^{2}v_{k}, u_{1}, Tu_{1}, …, u_{l}, Tu_{l}, w_{1}, …, w_{m}}

é uma base de V em relação à qual a matriz de T tem, ao longo da diagonal, k blocos do tipo N_{3} seguidos por l blocos do tipo N_{2} e por m blocos do tipo N_{1} (zeros!). Estes blocos correspondem a k subespaços cíclicos de dimensão 3, l subespaços cíclicos de dimensão 2 e m subespaços cíclicos de dimensão 1.

Toda a discussão feita anteriormente pode ser estendida para operadores nilpotentes com qualquer índice de nilpotência:

Teorema 31 Seja T ∈ ℒ (V) um operador nilpotente de índice p > 0. Então existem inteiros p = k_{1} ≥ k_{2} ≥ … ≥ k_{r} > 0 e subespaços cíclicos W_{1}, …, W_{r} tais que V = W_{1} ⊕ … ⊕ W_{r} e dim W_{i} = k_{i}, para i = 1, …, r.

Mantendo a notação do teorema anterior, vemos que cada W_{i} admite uma base da forma {u, Tu, …, T^{k_{i}−1}}. Reunindo tais bases, obtemos uma base de V em relação à qual a matriz de T possui blocos dos tipos N_{p}, N_{k_{2}} …, N_{k_{r}}. Esta matriz é chamada de forma canônica de Jordan para o operador T. Na próxima seção, construiremos a forma de Jordan de um operador não necessariamente nilpotente.

Exercícios

1. Mostre que as afirmações abaixo são equivalentes a respeito de T ∈ ℒ (V):

T é nilpotente.

Σ(T) = {0}.

q_{T}(x) = x^{m} para algum m > 0.

2. Determine todos os operadores nilpotentes em ^{n} que satisfazem as propriedades abaixo:

n = 5 e n(T) = 2;

n = 5, n(T) = 2 e dim ImT = 1;

n = 7 e n(T) = 3;

n = 7, n(T) = 3 e dim ImT = 4;

n = 7, n(T) = 3 e dim ker T = 5;

n = 6, n(T) = 4 e dim ImT = 4;

n = 2011 e dim ker T = 1.

3. Seja T ∈ ℒ (V) tal que T^{m} = 0. Mostre que T^{n} = 0, onde n = dim V.

4. Seja T ∈ ℒ (V) tal que Σ(T) ⊂ . Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:

T é diagonalizável;

Todos os autovalores de T tem multiplicidade algébrica igual à multiplicidade geométrica.

A forma canônica de Jordan

Nesta seção, vamos mostrar que um operador sempre admite uma base em relação à qual tem uma matriz quase diagonal, em certo sentido. Para facilitar a notação, dados um inteiro positivo m e λ ∈ , denotaremos por J(λ; m) a matriz m × m a seguir:

( \begin{matrix}λ & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\ 1 & λ & 0 & … & 0 & 0 \\ 0 & 1 & λ & … & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & … & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & 1 & λ \end{matrix} ) .  (6)

Uma matriz do tipo J(λ; m) é chamada de bloco de Jordan de dimensão m associado ao autovalor λ. Vemos que J(λ; m) = λI_{m} + N_{m}, onde I_{m} denota a matriz identidade m × m.

O resultado a seguir decorre do teorema (31).

Teorema 32 (Forma canônica de Jordan) Se T ∈ ℒ (V) e Σ(T) ⊂ então V admite uma base em relação à qual a matriz de T possui blocos de Jordan ao longo da diagonal e os demais elementos são nulos. A soma das ordens dos blocos de Jordan correspondentes a um mesmo autovalor λ é igual à multiplicidade algébrica de λ

Prova. Como Σ(T) ⊂ , o polinômio minimal de T decompõe-se como

q_{T}(λ) = (λ − λ_{1})^{m_{1}} · . . .· (λ − λ_{k})^{m_{k}},

onde λ_{1}, …, λ_{k} são os autovalores distintos de T. Pelo teorema da decomposição primária, V = W_{1} ⊕ …⊕ W_{k} onde W_{j} = ker(T − λ_{j})^{m_{j}}, para j = 1, …, k. Para cada j = 1, …, k, a restrição de T − λ_{j} a W_{j} é nilpotente e portanto, pelo teorema (31), W_{j} admite uma base ℬ_{j} em relação à qual a matriz da restrição de T − λ_{j} a W_{j} possui blocos N_{i} ao longo da diagonal. Logo, a matriz da restrição de T a W_{j} tem ao longo da diagonal blocos de Jordan da forma J(λ_{j}; i). Reunindo as bases assim obtidas, obtemos uma base de V em relação à qual a matriz de T é da forma desejada.

Exercícios

1. Calcule a forma canônica de Jordan dos operadores T em ^{3} cujas matrizes em relação à base canônica são:

( \begin{matrix}3 & 0 & 8 \\ 3 & −1 & 6 \\ −2 & 0 & −5 \end{matrix} )

( \begin{matrix}3 & 1 & −1 \\ 2 & 2 & −1 \\ 2 & 2 & 0 \end{matrix} )

( \begin{matrix}0 & 0 & −2 & 0 \\ −1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} )

( \begin{matrix}0 & −9 & 1 & 2 \\ 1 & 6 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix} )

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & −1 & −1 & −1 & −1 & 0 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

2. Calcule diretamente os polinômios característico e minimal de J(λ; m).

3. Mostre que se D, D′ ∈ ℒ (V) são diagonalizáveis e comutam então D + D′ e DD′ são diagonalizáveis.

4. Seja T ∈ ℒ (V) de posto 1. Mostre que, ou T é diagonalizável ou T é nilpotente (não ambos).

5. Dado T ∈ ℒ (V) tal que Σ(T) ⊂ , os operadores D e N construídos na proposição (24) são chamados de parte diagonalizável e parte nilpotente de T, respectivamente. Mostre que se p é qualquer polinômio com coeficientes em , então a parte diagonalizável de p(T) é p(D).

Complexificações

Os resultados vistos anteriormente funcionam muito bem no caso em que o espaço ambiente V é complexo, pois nesta situação qualquer operador T ∈ ℒ (V) tem todos os seus autovalores em . No entanto, o mesmo não ocorre no caso real, já que, nestas circunstâncias, um operador pode não ter seus autovalores em , como mostra o exemplo simples ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ). Vamos mostrar como estender os resultados vistos anteriormente para o caso de um espaço vetorial real V de dimensão finita.

Consideremos o conjunto V × V munido das operações de soma e multiplicação por um escalar complexo definidas por (u, v) + (u′, v′) = (u + u′, v + v′) e (α + iβ) · (u, v) = (αu − βv, αv + βu) para quaisquer u, u′, v, v′ ∈ V e α + iβ ∈ . O leitor pode verificar que o conjunto V × V munido destas operações é um espaço vetorial sobre , o qual denotaremos por V^{}. O espaço V^{}é chamado de complexificação de V ou complexificado de V.

A aplicação V ∋ u ↦ (u, 0) ∈ V^{}é uma injeção linear sobre escalares reais, e portanto, podemos identificar cada vetor u ∈ V com seu correspondente (u, 0) ∈ V^{}. Denotando o vetor (0, v) = i·(v, 0) por iv, podemos escrever (u, v) = u + iv para cada (u, v) ∈ V^{}. Doravante, usaremos esta notação.

Vemos que se {u_{1}, …, u_{n}} é uma base de V (sobre ), então {u_{1}, …, u_{n}} é uma base de V^{} (sobre ). Portanto, dim_{}V = dim_{}V^{}. As notações dim_{}e dim_{}são para frisar o conjunto de escalares considerado, embora isso seja desnecessário, uma vez que V é um espaço vetorial real e V^{}é um espaço vetorial complexo.

Se W é um espaço vetorial real e T : V → W é um operador linear, então podemos definir T^{}: V^{}→ W^{}pondo T^{}(u + iv) = Tu + iTv, para u + iv ∈ V^{}. O leitor pode verificar que T^{}é um operador linear sobre escalares complexos. T^{}é a complexificação de T. Dadas bases {u_{1}, …, u_{n}} e {v_{1}, …, v_{n}} de V e W, respectivamente, e (a_{ij}) a matriz de T em relação a estas bases, vemos que a matriz de T^{}em relação às mesmas bases (sobre ) é a própria matriz (a_{ij}). Em particular, se T ∈ ℒ (V) então p_{T} e p_{T^{}}têm o mesmo polinômio característico.

Proposição 33 Seja T ∈ ℒ (V). Então

p_{T} = p_{T^{}}; em particular, T e T^{}têm os mesmos autovalores, inclusive com a mesma multiplicidade;

A aplicação ℒ (V) ∋ T ↦ T^{}∈ ℒ (V^{}) é linear injetora e satisfaz (ST)^{}= S^{}T^{}para qualquer S ∈ ℒ (V). Em particular, p(T)^{}= p(T^{}) para qualquer polinômio p ∈ [X];

q_{T} = q_{T^{}};

(Teorema de Cayley-Hamilton) p_{T}(T) = 0.

Prova. A afirmação é consequência de p_{T} = p_{T^{}}. Para provar , observamos que (T + αS)^{}= T^{}+ αS^{}e (ST)^{}= S^{}T^{}para quaisquer S, T ∈ ℒ (V) e α ∈ . Além disso, como u + iv = 0 se e só se u = v = 0, para quaisquer u, v ∈ V, segue que T^{}= 0 se e só se T = 0. Assim, a referida aplicação é uma injeção linear.

Provemos . Como q_{T}(T) = 0 e q_{T}tem coeficientes reais, temos 0 = q_{T}(T)^{}= q_{T}(T^{}), portanto, q_{T^{}}|q_{T}. Decompondo q_{T^{}}= p_{1} + ip_{2} com p_{1}, p_{2} ∈ [X], temos que 0 = q_{T^{}}(T^{}) = p_{1}(T^{}) + ip_{2}(T^{}) = p_{1}(T)^{}+ ip_{2}(T)^{}. Aplicando o último operador em um vetor arbitrário da forma u + i0, com u ∈ V, concluímos que p_{1}(T) = p_{2}(T) = 0. Portanto, q_{T}|p_{1} e q_{T}|p_{2}, donde concluímos que q_{T}|q_{T^{}}e, portanto, q_{T} = q_{T^{}}.

O teorema de Cayley-Hamilton nesta situação mais geral decorre do caso já provado. De fato, já sabemos que p_{T^{}}(T^{}) = 0, portanto, 0 = p_{T^{}}(T^{}) = p_{T}(T^{}) = p_{T}(T)^{}, portanto, p_{T}(T) = 0.

Podemos considerar também o espaço V^{}como espaço vetorial real. Se {u_{1}, …, u_{n}} é uma base de V, então, como já comentamos, {u_{1}, …, u_{n}} é uma base (complexa) de V^{}então {u_{1}, iu_{1} …, u_{n}, iu_{n}} é uma base real de V^{}. De fato, cada z ∈ V^{}se escreve como

z = (α_{1} + iβ_{1})u_{1} + …+ (α_{n} + iβ_{n})u_{n} = α_{1}u_{1} + …+ α_{n}u_{n} + β_{1}(iu_{1}) + …+ β_{n}(iu_{n}) ,

logo, o referido conjunto gera V^{}com escalares reais. Além disso, se

α_{1}u_{1} + …+ α_{n}u_{n} + β_{1}(iu_{1}) + …+ β_{n}(iu_{n}) = 0

com α_{1}, …, α_{n}, β_{1}, …, β_{n} ∈ , então (α_{1} + iβ_{1})u_{1} + …+ (α_{n} + iβ_{n})u_{n} = 0, donde α_{1} = … = α_{n} = β_{1} = … = β_{n} = 0. Em particular, dim_{}(V^{}) = 2 dim_{}(V^{}) = 2 dim V. A matriz do operador J : V^{}→ V^{}dado por Jz = iz, z ∈ V^{}, em relação à base {u_{1}, iu_{1} …, u_{n}, iu_{n}} tem ordem 2n e blocos 2 × 2 da forma ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ao longo da diagonal

( \begin{matrix}( & \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} & ) \\ & & & . & . & . \\ & & & & & & ( & \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} & ) \end{matrix} ) .

A estrutura de V^{}como espaço vetorial complexo fica totalmente determinada pela aplicação J. Evidentemente, J^{2} = −I.

Em geral, se S : V^{}→ V^{}é um operador linear qualquer cuja matriz em relação à base {u_{1}, …, u_{n}} é (λ_{ij}), então a matriz do mesmo operador em relação à base {u_{1}, iu_{1} …, u_{n}, iu_{n}} tem ordem 2n e blocos 2 × 2 da forma

( \begin{matrix}( \begin{matrix}α_{11} & −β_{11} \\ β_{11} & α_{11} \end{matrix} ) & … & ( \begin{matrix}α_{1n} & −β_{1n} \\ β_{1n} & α_{1n} \end{matrix} ) \\ ⋮ & & ⋮ \\ ( \begin{matrix}α_{n1} & −β_{n1} \\ β_{n1} & α_{n1} \end{matrix} ) & … & ( \begin{matrix}α_{nn} & −β_{nn} \\ β_{nn} & α_{nn} \end{matrix} ) \end{matrix} )

onde λ_{ij} = α_{ij} + iβ_{ij}, para 1 ≤ i, j ≤ n. Este processo é chamado de descomplexificação do operador S (ou da matriz (λ_{ij})).

Dados u, v ∈ V, definimos o conjugado de z = u + iv ∈ V^{}por \overline{z} = u − iv. Temos que \overline{z + z′} = \overline{z} + \overline{z′} e \overline{λz} = \overline{λ}\overline{z}, para quaisquer λ ∈ e z, z′ ∈ V^{}. Isto significa que a aplicação de conjugação C : V^{}→ V^{}dada por C(z) = \overline{z}, para z ∈ V^{}é linear sobre escalares reais. Dado um subconjunto X ⊂ V^{}, escrevemos \overline{X} = C(X). Para qualquer subespaço (complexo) W ⊂ V^{}, temos que \overline{W}é um subespaço (complexo) de V^{}. Como Cé bijetora, \overline{W}e W têm mesma dimensão (complexa ou real). Se T ∈ ℒ (V), então T^{}(\overline{z}) = \overline{T^{}(z)}, para qualquer z ∈ V^{}, ou seja, T^{}C = CT^{}.

Podemos considerar agora a situação inversa. Seja V um espaço vetorial real de dimensão par e um operador J ∈ ℒ (V) tal que J^{2} = −I. Tal^{2} operador induz uma operação de multiplicação por escalares complexos em W pondo (α+iβ)u = αu+βJu, para u ∈ W e α+iβ ∈ . Deixamos ao leitor o trabalho de verificar que, de fato, V munido desta operação é um espaço vetorial complexo, o qual será denotado por (V, J). O operador J é também chamado de estrutura complexa. A próxima proposição, cuja prova é deixada como exercício, é útil para reconhecermos quais operadores T ∈ ℒ (V) são lineares sobre escalares complexos.

Proposição 34 Se T ∈ ℒ (V) então T ∈ ℒ (V, J) se e só se TJ = JT.

O lema a seguir é essencial para estendermos os resultados vistos anteriormente para o caso de um operador linear sobre um espaço vetorial real.

Lema 35 Seja V um espaço vetorial real e T ∈ ℒ (V). Então existe uma decomposição V = W ⊕ Z satisfazendo as seguintes propriedades:

W e Z são invariantes por T;

Σ(T|_{W}) ⊂ , Σ(T|_{Z}) ⊂ \ e Σ(T|_{W}) ∪ Σ(T|_{Z}) = Σ(T);

dim Z é par.

Prova. Sejam λ_{1}, …, λ_{k} os autovalores reais de T e μ_{1}, \overline{μ_{1}}, …, μ_{m}, \overline{μ_{m}} os autovalores não-reais de T. Em particular,

q_{T}(λ) = (λ − λ_{1})^{q_{1}} · . . .· (λ − λ_{k})^{q_{k}}(λ − μ_{1})^{r_{1}}(λ − \overline{μ_{1}})^{r_{1}} · . . .· (λ − μ_{m})^{r_{l}}(λ − \overline{μ_{m}})^{r_{l}} = p_{1}(λ)p_{2}(λ) ,

onde p_{1}(λ) = (λ − λ_{1})^{q_{1}} · . . .· (λ − λ_{k})^{q_{k}} e p_{2}(λ) = (λ − μ_{1})^{r_{1}}(λ − \overline{μ_{1}})^{r_{1}} · . . .· (λ − μ_{m})^{r_{l}}(λ − \overline{μ_{m}})^{r_{l}}. Como mdc(p_{1}, p_{2}) = 1, pondo W = ker p_{1}(T) e Z = ker p_{2}(T), o teorema da decomposição primária implica que W, Z são invariantes por T e V = W ⊕ Z. Além disso, q_{T|_{W}} = p_{1} e q_{T|_{Z}} = p_{2}; em particular, é satisfeita. Para provar que dim Z é par, basta observar que, em um espaço vetorial real de dimensão ímpar, todo operador linear tem algum autovalor real e T|_{Z} não tem autovalores reais.

2Um tal operador J sempre existe: basta tomar uma base {u_{1}, …, u_{n}, v_{1}, …, v_{n}} de V e definir Ju_{j} = v_{j} e Jv_{j} = −u_{j}, para cada j = 1, …, n.

Observação 36 Mantendo a notação do lema (35), o teorema da decomposição primária e as observações anteriores implicam que V admite uma decomposição

V = W_{1} ⊕ …W_{k} ⊕ Z_{1} ⊕ \overline{Z_{1}} ⊕ …Z_{l} ⊕ \overline{Z_{l}}

onde W_{j} = ker(T −λ_{j})^{q_{j}}, j = 1, …, k e Z_{j} = ker(T −μ_{j})^{r_{j}}, j = 1, …, m. Temos que W = W_{1}⊕…⊕W_{k} e Z = Z_{1} ⊕ \overline{Z_{1}} ⊕ …Z_{l} ⊕ \overline{Z_{l}}. Em particular, se ℬ_{1}, …, ℬ_{l} são bases de Z_{1}, …, Z_{l}, respectivamente, então ℬ_{1} ∪ \overline{ℬ_{1}} ∪ …∪ ℬ_{l} ∪ \overline{ℬ_{l}} é uma base de Z, onde ℬ_{j} denota a base de \overline{Z_{j}} formada pelos conjugados dos elementos de ℬ_{j}, para cada j = 1, …, l.

Vamos concentrar nossa atenção no subespaço Z construído no lema (35). Denotemos por S a restrição de T a Z e consideremos o operador complexificado S^{}: Z^{}→ Z^{}. Pela proposição (15) e pela observação (36), Z^{}admite uma base \{z_{1}, \overline{z_{1}}, …, z_{m}, \overline{z_{m}}\} em relação à qual S^{}tem matriz triangular superior com os elementos μ_{1}, \overline{μ_{1}}, …, μ_{m}, \overline{μ_{m}} ao longo da diagonal, de acordo sua multiplicidade.^{3} O lema abaixo é imprescindível para continuarmos.

Lema 37 Pondo z_{j} = u_{j} + iv_{j}, j = 1, …, m, temos que {u_{1}, v_{1}, …, u_{m}, v_{m}} é uma base de Z em relação à qual a matriz de S é

( \begin{matrix}( & \begin{matrix}α_{1} & −β_{1} \\ β_{1} & α_{1} \end{matrix} & ) \\ & & & . & . & . \\ & 0 & & & & & ( \begin{matrix}α_{m} & −β_{m} \\ β_{m} & α_{m} \end{matrix} ) \end{matrix} ) ,

onde μ_{j} = α_{j} + iβ_{j}, j = 1, …, m, e todos os elementos abaixo dos blocos ( \begin{matrix}α_{j} & −β_{j} \\ β_{j} & α_{j} \end{matrix} ) são nulos. Cada

bloco ( \begin{matrix}α_{j} & −β_{j} \\ β_{j} & α_{j} \end{matrix} ) aparece de acordo com a multiplicidade do autovalor μ_{j} correspondente.

Prova. Temos que u_{j} = \frac{1}{2}(z_{j} + \overline{z_{j}}) e v_{j} = \frac{1}{2i}(z_{j} − \overline{z_{j}}), j = 1, …, m. Logo, para quaisquer α_{1}, β_{1}, …, α_{m}, β_{m} ∈ temos que

∑_{j=1}^{m} α_{j}u_{j} + β_{j}v_{j} = ∑_{j=1}^{m} (\frac{α_{j} − iβ_{j}}{2} )z_{j} + (\frac{α_{j} + iβ_{j}}{2} ) \overline{z_{j}} ;

em particular, uma combinação linear nula dos vetores u_{1}, v_{1}, …, u_{m}, v_{m} com coeficientes reais produz uma combinação linear nula dos vetores z_{1}, \overline{z_{1}}, …, z_{m}, \overline{z_{m}} com coeficientes complexos. Como os últimos são uma base (complexa) de Z^{}, segue que {u_{1}, v_{1}, …, u_{m}, v_{m}} é linearmente independente.

Os seguintes resultados estão provados.

Proposição 38 (Forma triangular para operadores reais) Seja V um espaço vetorial real e T ∈ ℒ (V). Então existe uma base de V em relação à qual T tem matriz

3Isto pode ser visto diretamente. De fato, seja {z_{1}, z′_{1}, …, z_{m}, z′_{m}} uma base de Z em relação à qual S^{}tem matriz triangular superior com os elementos μ_{1}, \overline{μ_{1}}, …, μ_{m}, \overline{μ_{m}} ao longo da diagonal, de acordo sua multiplicidade.

Então S^{}z_{j} = μ_{j}z_{j} + ∑ _{l<j} η_{lj}z_{j} para i = 1, …, m. Tomando o conjugado de ambos os membros, temos que S^{}(\overline{z_{j}}) = \overline{μ_{j}} \overline{z_{j}} + ∑ _{l<j} \overline{η_{lj}} \overline{z_{j}} para i = 1, …, m, portanto, podemos trocar z′_{j} por \overline{z_{j}}, para cada j = 1, …, m, e a diagonal da matriz de S^{}em relação à base \{z_{1}, \overline{z_{1}}, …, z_{m}, \overline{z_{m}}\} permanece inalterada.

( \begin{matrix}λ_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & λ_{k} \\ & & & & & ( & \begin{matrix}α_{1} & −β_{1} \\ β_{1} & α_{1} \end{matrix} & ) \\ & & & & & & & & . & . & . \\ 0 & & & & & & & & & & & ( \begin{matrix}α_{m} & −β_{m} \\ β_{m} & α_{m} \end{matrix} ) \end{matrix} ) .

Todos os elementos abaixo de λ_{1}, …, λ_{k}e dos blocos ( \begin{matrix}α_{1} & −β_{1} \\ β_{1} & α_{1} \end{matrix} ), …, ( \begin{matrix}α_{m} & −β_{m} \\ β_{m} & α_{m} \end{matrix} )são nulos. Além disso, λ_{1}, …, λ_{k}, μ_{1}, \overline{μ_{1}}, …, μ_{m}, \overline{μ_{m}} são exatamente os autovalores de T, onde μ_{j} = α_{j} + iβ_{j}, j = 1, …, m.

Corolário 39 Se dim V é par e T ∈ ℒ (V) então existe uma estrutura complexa J ∈ ℒ (V) tal que TJ = JT. Em particular, T ∈ ℒ (V, J).

Prova. Basta considerar J : Z → Z dado por Ju_{j} = v_{j} e Jv_{j} = −u_{j}, j = 1, …, m, onde {u_{1}, v_{1}, …, u_{m}, v_{m}} é a base construída na proposição (37).

Corolário 40 Sejam W um espaço vetorial qualquer sobre , T ∈ ℒ (W) e η_{1}, …, η_{n} ∈ os autovalores de T repetidos de acordo com sua multiplicidade. Então

trT = ∑ _{j=1}^{n} η_{j};

detT = η_{1} · . . .· η_{n};

Dado um polinômio qualquer p com coeficientes em , os autovalores de p(T) contados de acordo com sua multiplicidade, são p(η_{1}), …, p(η_{n}).

Corolário 41 Seja A ∈ M_{2n}( ) a matriz descomplexificada de B ∈ M_{n}( ). Então detA = | detB|^{2}. Em particular, detA ≥ 0.

O lema (35) e as proposições que o sucedem nos fornecem a forma canônica de Jordan real de um operador linear. Antes de enunciar tal resultado, fixemos uma notação. Dado λ ∈ , λ = α + iβ, com α, β ∈ , β 0, o bloco de Jordan aumentado J^{+}(λ; 2m) correspondente a λ é matriz (2m) × (2m)

( \begin{matrix}( & \begin{matrix}α & −β \\ β & α \end{matrix} & ) \\ ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) & ( \begin{matrix}α & −β \\ β & α \end{matrix} ) \\ ( & 1 0 0 1 & ) \\ & & . & . & . \\ & & & & & ( & \begin{matrix}α & −β \\ β & α \end{matrix} & ) \end{matrix} ) .

Esta matriz tem blocos ( \begin{matrix}α & −β \\ β & α \end{matrix} ) ao longo da diagonal seguidos por blocos ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) na subdiagonal. Vemos que J^{+}(λ, 2m) é a descomplexificação de J(λ; m) definida anteriormente. Reunindo os resultados sobre a forma canônica de Jordan já obtidos com o lema (35) e as observações subesequentes, temos o seguinte teorema.

Teorema 42 (Forma canônica de Jordan real) Se V é um espaço vetorial real e T ∈ ℒ (V), existe uma base de V em relação à qual a matriz de T tem, ao longo da diagonal, blocos de Jordan (correspondentes aos autovalores reais), blocos de Jordan aumentados (correspondentes aos autovalores complexos) e os demais elementos todos nulos. A soma das ordens dos blocos de Jordan correspondentes a um mesmo autovalor λ é igual à multiplicidade algébrica de λ, se λ ∈ e é igual ao dobro da multiplicidade algébrica de λ se λ ∈ \ .

Exemplo 43 Considere o operador T_{5} ∈ ℒ ( ^{7}) cuja matriz em relação à base canônica é

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & −2 & 1 \\ −1 & 2 & 0 & −1 & 1 & 1 & −1 \\ −1 & 0 & 1 & 1 & 0 & −1 & 1 \\ −1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & −1 \\ −1 & 0 & −1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −1 & 0 \\ −1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ) .

Temos que p_{T_{5}}(λ) = q_{T_{5}}(λ) = −(λ+1)(λ−2)^{2}(λ^{2}−2λ+2)^{2} = −(λ+1)(λ−2)^{2}(λ−(1+i))^{2}(λ−(1−i))^{2}. Pondo W_{1} = ker(T_{5} + I), W_{2} = ker(T_{5} − 2I)^{2} e Z = ker(T_{5}^{2} − 2T_{5} + I)^{2}, temos que ^{7} = W_{1} ⊕ W_{2} ⊕ Z. Temos que dim W_{1} = 1, dim W_{2} = 2 e dim Z = 4. Denotando por S a restrição T_{5}|_{Z}, temos que S^{} tem polinômios característico e minimal (λ − (1 + i))^{2}(λ − (1 − i))^{2}, portanto, sua forma canônica de Jordan é

( \begin{matrix}1 + i & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 + i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 − i & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 − i \end{matrix} ) .  (7)

Isto significa que existe uma base \{z_{1}, z_{2}, \overline{z_{1}}, \overline{z_{2}}\} tal que a matriz de S^{}é (7). Pondo z_{j} = u_{j} + iv_{j}, j = 1, 2, o lema (37) implica que {u_{1}, v_{1}, u_{2}, v_{2}} é uma base de Z em relação à qual S tem matriz

( \begin{matrix}1 & −1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & −1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) .

Assim, concluímos que a forma canônica de Jordan real de T_{5} é

( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) .

A forma canônica de Jordan de T_{5}^{}é

( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 + i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 + i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 − i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 − i \end{matrix} ) .

Observamos que se μ = α + iβ ∈ , α, β ∈ , β 0, é um autovalor de T, a quantidade de vezes que o bloco ( \begin{matrix}α & −β \\ β & α \end{matrix} ) aparece ao longo da diagonal na forma canônica de Jordan real de T é exatamente a multiplicidade algébrica de μ. Nestas circunstâncias, a dimensão (real) do autoespaço generalizado associado ao autovalor μ é o dobro da multiplicidade algébrica de μ.

Invariantes e divisores elementares

Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n sobre e T ∈ ℒ (V) nilpotente de índice p. Obtivemos uma decomposição V = W_{1} ⊕ …⊕ W_{r} onde cada W_{j} é um subespaço cíclico para T de dimensão k_{j}, p = k_{1} ≥ … ≥ k_{r} > 0 e k_{1} + …+ k_{r} = n. Os números k_{1}, …, k_{r} são chamados de invariantes de T. Vamos verificar que, de fato, tais números determinam T.

Lema 44 Se Wé um subespaço cíclico de dimensão m > 0 para um operador nilpotente T ∈ ℒ (V) então dim T^{k}(W) = m − k se 0 ≤ k ≤ m.

Prova. De fato, se {u, Tu, …, T^{m−1}u} é uma base para W, então {T^{k}u, T^{k+1}u, T^{m−1}u} é uma base de T^{k}(W).

Proposição 45 Sejam T ∈ ℒ (V) nilpotente de índice p e W_{1}, …, W_{r}, k_{1}, …, k_{r} como antes. Admitamos que V = V_{1} ⊕ … ⊕ V_{l} onde V_{1}, …, V_{l} são subespaços cíclicos para T de dimensões p = q_{1} ≥ …≥ q_{l} > 0, respectivamente, com q_{1} + …+ q_{l} = n. Então l = r e k_{i} = q_{i} para i = 1, …, r.

Prova. Raciocinemos por contradição. Se o resultado for falso, podemos tomar i o menor inteiro positivo tal que k_{i} q_{i}. Não há perda de generalidade em supormos que k_{i} < q_{i}. Como V_{1}, …, V_{r} são invariantes por T e T^{k_{i}}W_{l} = {0} se l ≥ i , temos que

T^{k_{i}}V = T^{k_{i}}W_{1} ⊕ …⊕ T^{k_{i}}W_{i−1} .

Em particular, pelo lema (44), dim T^{k_{i}}V = (k_{1} − k_{i}) + …+ (k_{i−1} − k_{i}). Como k_{1} = q_{1},…,k_{i−1} = q_{i−1}, segue que dim T^{k_{i}}V = (q_{1} − k_{i}) + …+ (q_{i−1} − k_{i}). Por outro lado, temos também que

T^{k_{i}}V = T^{k_{i}}V_{1} ⊕ …⊕ T^{k_{i}}V_{i} ⊕ …⊕ T^{k_{i}}V_{r} .

Pelo referido lema, dim T^{k_{i}}V ≥ (q_{1} − k_{i}) + …+ (q_{i} − k_{i}). Comparando as duas expressões para dim T^{k_{i}}V, concluímos que k_{i} ≥ q_{i}, uma contradição.

Os invariantes definidos acima podem ser utilizados para estudarmos uma questão teórica interessante. Dizemos que S, T ∈ ℒ (V) são conjugados se existe um operador inversível U ∈ ℒ (V) tal que S = UTU^{−1}. Evidentemente, operadores conjugados têm os mesmos polinômios característico e minimal. Mas isso não é tudo. Considere os operadores S, T ∈ ℒ ( ^{4}) cujas matrizes em relação à base canônica são ( \begin{matrix}N_{2} & 0 \\ 0 & N_{2} \end{matrix} ) e ( \begin{matrix}N_{2} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}), vemos que p_{S}(λ) = p_{T}(λ) = λ^{4}, q_{S}(λ) = q_{T}(λ) = λ^{2}, mas S, T não são conjugados, pois S tem posto 2 e T tem posto 1.

Caso T seja nilpotente com invariantes k_{1} ≥ … ≥ k_{r}, qualquer operador conjugado a T deve possuir os mesmos invariantes. De fato, se V = W_{1} ⊕ …⊕ W_{r} com cada W_{i} cíclico em relação a T, então dado qualquer U ∈ ℒ (V) inversível, temos que V = U(W_{1}) ⊕ …⊕ U(W_{r}) e cada U(W_{i}) é cíclico em relação a S = UTU^{−1}. Em particular, os invariantes de S coincidem com os de T. A recíproca também é válida: se S, T nilpotentes possuem os mesmos invariantes k_{1} ≥ …≥ k_{r} > 0 então obtemos subespaços cíclicos V_{1}, …, V_{r} e W_{1}, …, W_{r} para S, T, respectivamente, tais que dim V_{i} = dim W_{i} = k_{i} e V = V_{1} ⊕ …⊕ V_{r} = W_{1} ⊕ …⊕ W_{r}. Para 1 ≤ i ≤ r, como W_{i} é cíclico em relação a T e V_{i} é cíclico em relação a S, obtemos bases de W_{i} e V_{i} da forma {w_{i}, Tw_{i}, …, T^{k_{i}−1}w_{i}}, {v_{i}, Sv_{i}, …, S^{k_{i}−1}v_{i}}, respectivamente. Definindo U_{i} : W_{i} → V_{i} como U(T^{l}w_{i}) = S^{l}v_{i}, l = 0, 1, …, k_{i}− 1, temos que U_{i} é um isomorfismo entre W_{i} e V_{i}. Além disso, UTw_{i} = Sv_{i} = SUw_{i}. Denotando por U ∈ ℒ (V) o operador que coincide com U_{i} em cada W_{i}, temos que UT = SU, logo, S = UTU^{−1}. Estas considerações provam o resultado abaixo.

Proposição 46 Se S, T ∈ ℒ (V) são nilpotentes, então S, T são conjugados se e só se possuem os mesmos invariantes.

O problema de conjugação pode ser enunciado totalmente em termos matriciais. Dizemos que duas matrizes A, B ∈ M_{n}( ) são semelhantes (sobre ) se existe C ∈ M_{n}( ) inversível tal que A = C^{−1}BC. É evidente que A, B são semelhantes se e só se representam operadores lineares conjugados.

Podemos considerar sobre ℒ (V) a seguinte relação S ∼ T se e só se S, T são conjugados. Verifica-se trivialmente que esta é uma relação de equivalência. S, T são conjugados se e só se possuem a mesma forma de Jordan, portanto, determinar as classes de equivalência desta relação é o mesmo que determinar as formas canônicas de Jordan não-semelhantes entre si.

Dado T ∈ ℒ (V) tal que Σ(T) ⊂ , podemos escrever q_{T}(λ) = (λ − λ_{1})^{q_{1}} · . . . · (λ − λ_{k})^{q_{k}} e V = W_{1} ⊕ …⊕ W_{k}, onde λ_{1}, …, λ_{k} ∈ são os autovalores distintos de T e W_{j} = ker(T − λ_{j})^{q_{j}}, j = 1, …, k. Para cada i = 1, …, r, a restrição de T − λ_{i} a W_{i} é nilpotente de índice q_{i}; a proposição (46) mostra que um tal operador é determinado unicamente por seus invariantes l_{1}^{(i)} ≥ … ≥ l_{r_{i}}^{(i)} > 0. Logo, a forma canônica de T é determinada exclusivamente pelos seus autovalores e pelos inteiros

l_{1}^{(1)}, …, l_{r_{i}}^{(1)}, …, l_{1}^{(k)}, …, l_{r_{k}}^{(k)}.

A fim de escrever de maneira compacta todas estas informações, chamamos os polinômios

(λ − λ_{1})^{l_{1}^{(1)}}, …, (λ − λ_{1})^{l_{r_{1}}^{(1)}}, …, (λ − λ_{k})^{l_{1}^{(k)}}, …, (λ − λ_{k})^{l_{r_{k}}^{(k)}}

de divisores elementares de T.

No caso em que = e T possui autovalores λ_{1}, …, λ_{k} ∈ e μ_{1}, \overline{μ_{1}}, …, μ_{m}, \overline{μ_{m}} ∈ \ , podemos escrever

q_{T}(λ) = (λ − λ_{1})^{q_{1}} · . . .· (λ − λ_{k})^{q_{k}}(λ − μ_{1})^{r_{1}}(λ − \overline{μ_{1}})^{r_{1}} · . . .· (λ − μ_{m})^{r_{l}}(λ − \overline{μ_{m}})^{r_{l}} = p_{1}(λ)p_{2}(λ) ,

onde p_{1}(λ) = (λ − λ_{1})^{q_{1}} · . . .· (λ − λ_{k})^{q_{k}} e p_{2}(λ) = (λ − μ_{1})^{r_{1}}(λ − \overline{μ_{1}})^{r_{1}} · . . .· (λ − μ_{m})^{r_{l}}(λ − \overline{μ_{m}})^{r_{l}}. Esta decomposição nos dá uma decomposição V = W ⊕ Z em subespaços invariantes W = ker p_{1}(T) e Z = ker p_{2}(T) tal que q_{T|_{W}} = p_{1} e q_{T_{Z}} = p_{2}. Aplicando a mesma argumentação anterior à restrição T|_{Z}, concluímos que T|_{Z} fica determinado pelos seus divisores elementares

(λ − μ_{1})^{n_{1}^{(1)}} · (λ − \overline{μ_{1}})^{n_{s_{1}}^{(1)}}, …, (λ − μ_{m})^{n_{1}^{(1)}} · (λ − \overline{μ_{m}})^{n_{sm}^{(1)}}

Estes polinômios têm coeficientes reais, pois (λ − μ_{i})^{d} · (λ − \overline{μ_{i}})^{d} = (λ^{2} + 2(Reμ_{i})λ + |μ_{i}|^{2})^{d}, para qualquer i = 1, …, m. Neste caso, os divisores elementares de T são os divisores elementares de T|_{W} e os de T|_{Z}. Provamos o teorema a seguir.

Teorema 47 As classes de equivalência da relação ∼ são totalmente determinadas pelas formas canônicas de Jordan distintas, no sentido que dois elementos pertencem à mesma classe de equivalência se e só se possuem os mesmos divisores elementares.

Exemplo 48 Os divisores elementares do operador T_{5} do exemplo (43) são (λ + 1), (λ + 2)^{2} e {(λ − (1 + i))(λ − (1 − i)}^{2} = (λ^{2} − 2λ + 2)^{2}.

Raízes m-ésimas

Daremos uma aplicação interessante da forma canônica de Jordan relativaà construção de raízes m-ésimas de operadores lineares. A questão de existência de raízes m-ésimas pode ser colocada em termos bastante gerais: dado um conjunto X munido de uma operação binária · qualquer, um elemento x ∈ X, e m um inteiro positivo, podemos nos perguntar se existe y ∈ X tal que

y^{m} = \begin{matrix}y · . . .· y \\ \end{matrix}_{m vezes}= x .

Por exemplo, se X = e · é a multiplicação complexa usual, então este problema sempre admite solução (em geral, não única). Já se X = , o problema nem sempre tem solução, pois se, por exemplo, m é par então x^{m} é sempre não-negativo. De fato, veremos que esta obstrução à existência de raízes m-ésimas aparece também no caso em que X = ℒ (V)e · é a composição de operadores. Outra obstrução que pode aparecer neste caso tem relação com a própria estrutura do operador. Por exemplo, um cálculo simples mostra que se V tem dimensão 2 e a matriz de T em relação à alguma base de V é N_{2}, então não existe S ∈ ℒ (V) tal que S^{2} = T. Veremos a seguir condições que garantem a existência de raízes m-ésimas.

Teorema 49 Seja T ∈ ℒ (V) e m um inteiro positivo. Vamos assumir que x = 0 é uma raiz de q_{T}(x) de multiplicidade no máximo 1. Então são verdadeiras as seguintes afirmações:

1. Se = então existe S ∈ ℒ (V) tal que S^{m} = T e ST = TS;

2. Se = e m é ímpar então existe S ∈ ℒ (V) tal que S^{m} = T e ST = TS;

3. Se = , m é par e T não possui autovalores reais negativos, então existe S ∈ ℒ (V) tal que S^{m} = T e ST = TS.

Prova. Escrevamos q_{T}(x) = x^{l}q(x), com l = 0 ou l = 1. Caso l = 0, o operador T é inversível. Caso l = 1, pelo teorema da decomposição primária existe uma decomposição V = ker T ⊕ Z, com Z = ker q(T), tal que o polinômio minimal de T|_{Z} é q(x). Obviamente, T|_{Z} é inversível e, portanto, podemos supor, sem perda de generalidade, que o próprio operador T é inversível.

Pondo α = 1/m, consideremos a série binomial

(1 + x)^{α} = ∑_{n=0}^{∞} \binom{α}{n}x^{n} ,  (8)

onde \binom{α}{0} = 1 e \binom{α}{n} = \frac{α(α−1)·...(α−n+1)}{n!} para n ≥ 1. A expressão (8) é convergente se |x| < 1, mas não estamos interessados nisso. Para nós, a equação (8) corresponde simplesmente a uma infinidade de relações entre os números \binom{α}{n}, a saber, (∑ _{n=0}^{∞} \binom{α}{n}x^{n})^{m} = 1 + x.

Se T = λI + N com λ 0 e N nilpotente, podemos obter, via série binomial, um operador R ∈ ℒ (V) tal que R^{m} = I + λ^{−1}N. Como N é nilpotente, então R é, de fato, um polinômio em N. Em particular, R comuta com N. Se existir μ ∈ tal que μ^{m} = λ, então o operador S = μR é tal que S^{m} = T e ST = TS. Sendo assim, a existência de S fica condicionada à existência de uma raiz m-ésima de λ em .

Vamos agora dividir a prova em três partes, de acordo com as hipóteses do enunciado.

1. Se = , usamos a forma canônica de Jordan para obter uma decomposição V = W_{1} ⊕ …⊕ W_{k} de V tal que cada subespaço é invariante por T e T é da forma λI + N, λ 0, em cada um dos W_{j}. Usando a argumentação do parágrafo anterior e a invariância dos W_{j}, construímos um operador S ∈ ℒ (V) tal que S^{m} = T e ST = TS.

2. Suponhamos que = e sejam λ_{1}, …, λ_{k} ∈ os autovalores reais e μ_{1}, \overline{μ_{1}}, …, μ_{l}, \overline{μ_{l}} ∈ os autovalores complexos de T, repetidos de acordo com a multiplicidade. Podemos obter uma decomposição V = W ⊕ Z tal que os operadores T_{1} = T|_{W} e T_{2} = T|_{Z} têm λ_{1}, …, λ_{m} e μ_{1}, \overline{μ_{1}}, …, μ_{n}, \overline{μ_{n}} como autovalores, respectivamente. Como os autovalores de T_{1} são reais e m é ímpar, a mesma argumentação utilizada no ítem anterior nos fornece um operador S_{1} em W tal que S_{1}^{m} = T_{1} e S_{1}T_{1} = T_{1}S_{1}.

Consideremos J ∈ ℒ (Z) uma estrutura complexa J ∈ ℒ (Z) que comuta com T_{2}. Temos que T_{2} ∈ ℒ (Z, J) e, portanto, pelo primeiro ítem, existe S_{2} ∈ ℒ (Z, J) tal que S_{2}^{m} = T_{2} e S_{2}T_{2} = T_{2}S_{2}. Definindo S como S_{1} em W e S_{2} em Z, temos o operador procurado.

3. Basta repetir a prova do ítem anterior, observando que, como T não possui autovalores reais negativos, o operador S_{1} ∈ ℒ (W) é bem-definido, pois m é par.

Exercícios

1. Seja V um espaço vetorial sobre com dim V = 2.

(a) Considerando uma base {u_{1}, u_{2}} qualquer, podemos definir em V uma estrutura de espaço vetorial sobre , mantendo a mesma definição de soma de vetores e definindo o produto do número complexo (a + ib) pelo vetor u = α_{1}u_{1} + α_{2}u_{2} como

(a + ib)u = (a + ib)(α_{1}u_{1} + α_{2}u_{2}) = (aα_{1} − bα_{2})u_{1} + (aα_{2} + bα_{1})u_{2} .

Mostre que, munido desta estrutura, V é um espaço vetorial sobre , que será denotado por V^{}.

(b) Mostre que dim V^{}= 1.

(c) Dado qualquer T ∈ ℒ (V), mostre que o operador T^{}: V^{}→ V^{}definido por T^{}u = Tu, u ∈ V^{}, pertence a ℒ (V^{}). Mostre que Σ(T) = Σ(T^{}).

(d) Suponha que λ = α + iβ ∈ Σ(T), com α, β ∈ , β 0. Mostre que existe uma base de V tal que a matriz de T com relação a mesma é

( \begin{matrix}α & −β \\ β & α \end{matrix} ) .

2. Neste exercício, vamos encontrar diretamente uma forma canônica para operadores em um espaço vetorial V de dimensão 2. Seja T ∈ ℒ (V) e λ_{1}, λ_{2} os autovalores de T, os quais admitiremos que são reais.

(a) Se λ_{1} = λ_{2} = λ e T λI então (T − λ)^{2} = 0.

(b) Mostre que existe uma base de V em relação à qual a matriz de T é de um (e somente um) dos tipos abaixo:

( \begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix} ) se λ_{1} λ_{2};

( \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & λ \end{matrix} ) se λ_{1} = λ_{2} = λ e T = λI;

( \begin{matrix}λ & 0 \\ 1 & λ \end{matrix} ) se λ_{1} = λ_{2} = λ e T λI;

(c) Descreva o processo do ítem anterior para o operador T em V = ^{2} cuja matriz em relação à base canônica é ( \begin{matrix}4 & −1 \\ 4 & 0 \end{matrix} ).

3. Calcule a forma canônica de Jordan (real) dos operadores cuja matriz em relação à base canônica de ^{n} é:

( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ −1 & 2 & −1 \\ −1 & 1 & 0 \end{matrix} )

( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & −2 & 1 \end{matrix} )

( \begin{matrix}1 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 2 & −2 & −2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} )

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ −2 & −3 & 0 & 1 \end{matrix} )

( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & −2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & −1 & 1 & 1 & −2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & −1 \end{matrix} )

4. Sejam = e J ∈ ℒ (V) tal que J^{2} + I = 0.

Mostre que dim V é par, digamos dim V = 2m. Considere o operador J^{}∈ ℒ (V^{}) e V_{±} = ker(J^{}±i). Mostre que dim V_{+} = dim V_{−} = m

e V^{}= V_{+} ⊕ V_{−}. Mostre que existe uma base de V em relação à qual J tem matriz ( \begin{matrix}0 & −I_{m×m} \\ I_{m×m} & 0 \end{matrix} )

5. Sejam = e T ∈ ℒ (V) tal que q_{T}(x) = x^{2} + ax + b, com a^{2} − 4b < 0.

Mostre que dim V é par, digamos dim V = 2m. Mostre que existe uma base de V em relação à qual T tem matriz ( \begin{matrix}αI_{m×m} & −βI_{m×m} \\ βI_{m×m} & αI_{m×m} \end{matrix} ), onde

α = −a/2 e β = \sqrt{b − a^{2}/4}. Observe que as raízes da equação x^{2} + ax + b = 0 são α + iβ e α − iβ. Compare com o exercício (1).

6. Calcule os divisores elementares dos operadores descritos no exercício anterior.

7. Sejam S, T operadores nilpotentes em V, com dim V ≤ 3. Mostre que S e T são conjugados se e só se têm o mesmo polinômio minimal.

8. Encontre exemplos de operadores S, T ∈ ℒ (V) não-conjugados tais que p_{S} = p_{T} e q_{S} = q_{T}.

9. Mostre que se S, T ∈ ℒ (V) satisfazem:

p_{S} = p_{T}, q_{S} = q_{T}, p_{S} não tem raízes de multiplicidade estritamente maior que 3,

então S e T são conjugados.

10. Calcule todas as possibilidades de invariantes para operadores nilpotentes em espaços vetoriais de dimensão baixa (digamos que dim V ≤ 8). Calcule a quantidade de classes distintas de operadores nilpotentes em uma dada dimensão.

11. Verifique se as matrizes A, B abaixo são semelhantes sobre :

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ), B = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} )

A = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 & −2 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ −1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ), B = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix} )

A = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −2 \end{matrix} ), B = ( \begin{matrix}0 & 0 & −2 & 0 \\ −1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −2 \end{matrix} )

A = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ), B = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −i \end{matrix} )

A = ( \begin{matrix}cos θ & − sin θ \\ sin θ & cos θ \end{matrix} ), B = ( \begin{matrix}e^{iθ} & 0 \\ 0 & e^{−iθ} \end{matrix} )

12. Seja m um inteiro positivo e T ∈ ℒ (V) tal que T^{m} = I. Prove as seguintes afirmações: Se = então T é diagonalizável. Se = então existe uma base de V em relação à qual a matriz de T tem, ao longo

da diagonal, blocos dos seguintes tipos:

i. I_{k×k}, k = 0, 1, …, n = dim V; ii. −I_{l×l} l = 0, 1, …, n; iii. ( \begin{matrix}cos θ_{j} & − sin θ_{j} \\ sin θ_{j} & cos θ_{j} \end{matrix} ), onde e^{iθ_{1}}, …, e^{iθ_{m}} são as raízes m-ésimas da unidade.

13. Sejam T ∈ ℒ (V) e α ∈ tais que T^{2} − 2T + αI = 0. Prove as seguintes afirmações:

Se α < 1 então T é diagonalizável e tem autovalores λ_{+} = 1+ \sqrt{1 − α} e λ_{−} = 1− \sqrt{1 − α} . Se = e α > 1 então T é diagonalizável e tem autovalores λ_{+} = 1 + i \sqrt{α − 1} e

λ_{−} = 1 − i \sqrt{α − 1} . Se α = 1 então existe uma base de V em relação à qual a matriz de T tem, ao longo da

diagonal, um bloco I_{k×k} e l blocos 2 × 2 da forma ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}), com k + 2l = dim V. Se = e α > 1 então dim V é par e existe uma base de V em relação à qual a matriz

de T tem l blocos 2 × 2 da forma ( \begin{matrix}1 & \sqrt{α−1} \\ − \sqrt{α−1} & 1 \end{matrix} ), com 2l = dim V.

14. Sejam = , T ∈ ℒ (V), dim V = n e p ∈ [X] tais que p(T) = 0. Calcule as possíveis

formas canônicas de Jordan de T nos seguintes casos: p(x) = x^{2} − 4x + 5, n = 4; p(x) = x^{3} − 1, n = 7; p(x) = x^{4} − 1, n = 8; p(x) = x^{4} − x^{2} − 2x + 2, n = 9

15. Mostre que o resultado do exercício (7) da página 7 continua válido no caso = , mesmo sem termos Σ(T) ⊂ .

16. Mostre que uma matriz A ∈ M_{n}( ) é sempre semelhante à sua transposta A^{t} ∈ M_{n}( ).