CM201D - Cálculo Diferencial e Integral I
Segundo Semestre de 2010
Seg e Qua, 17:30 - 19:00, Sala CT07

Página do Curso para essa disciplina
Informações sobre o Curso de Geologia

Funções. Derivadas. Aplicações do cálculo diferencial. Integrais. Séries.

Professor Alexandre Trovon

e-mail: trovon@ufpr.br

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Atendimento

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Textos e Leituras Recomendadas

Cálculo Vol. I, dos autores Deborah Hughes-Hallett, Andrew M Gleason, et al., Editora LTC.

O livro Cálculo, também dos autores Deborah Hughes-Hallett, Andrew M Gleason, et al., Editora LTC, é uma reedição dos livros acima, em forma de volume único.

Cálculo Vol. I, 5a edição, de James Stewart, publicado pela Editora Thomson.

Há diversos livros de cálculo que poderíamos estar seguindo. Entretanto, a grande maioria constrói a teoria ancorados em situações tradicionalmente muito teóricas. Os livros acima citados são de uma nova safra, construídos com base em pesquisas baseadas na Universidade de Harvard. Eles constroem a teoria através de investigação de problemas, a maioria reais.

O primeiro livro apresenta todo o conteúdo de uma forma sucinta, com base na exploração de inúmeras situações reais. O segundo é uma versão em volúme único do primeiro. O terceiro livro citado contém todo o conteúdo, em uma forma um pouco mais aprofundada. Na biblioteca há vários volumes dele, facilitando bastante a consulta.

Descrição do Curso

Em um curso de ciência aplicada a matemática não é “um fim em si mesma” mas uma ferramenta para se tirar conclusões, fazer previsões e analisar fenômenos. É nesse contexto de “modelagem matemática” que o cálculo aparece como ferramenta. Isso pode ser esquematizado assim:

Da interpretação da solução tiramos conclusões ou fazemos previsões sobre o fenômeno.

É sob essa ótica que trataremos os conteúdos: partindo de uma situação real apresentaremos as ferramentas necessárias do cálculo.

Nas aulas, e nas provas, utilizaremos calculadoras. Por isso, é interessante desde já providenciar uma calculadora científica simples.

Avaliação

A avaliação no curso consistirá de 02 provas, todas com igual peso, e um trabalho opcional. A seguir temos as datas das provas e o conteúdo (aproximado) referente a cada uma:

Prova	Data	Conteúdo
Primeira	03 de novembro quarta-feira	Propriedades de funções exponenciais, trigonométricas, logarítmicas e polinomiais
Segunda	24 de novembro quarta-feira	Derivadas e aplicações. Noções de integração.
Final	15 de dezembro quarta-feira	Todo o conteúdo.

Trabalho

A seguir temos a descrição do trabalho (opcional) que deverá ser entregue até 01/12/2010.

Opção 1 - Curva de Alimentação de um Pardal: Um pássaro como o pardal alimenta seus filhotes com minhocas. Para apanhar as minhocas, o pássaro voa sobre um lugar onde elas se encontram, pega várias delas em seu bico e voa de volta ao ninho. A curva de cargana figura a seguir mostra como as minhocas (a carga) que o recolhe dependem do tempo que ele levou procurando-as.

A curva é côncava para baixo porque o pássaro pode recolher minhocas mais facilmente quando seu bico está parcialmente vazio; quando seu bico está parcialmente cheio o pássaro torna-se muito menos eficiente. O tempo de viagem (do ninho ao sítio e de volta) é representado pela distância PO na figura acima. Suponha que o pássaro queira maximizar a taxa na qual ele traz minhocas ao ninho, onde:

Taxa de minhocas chegando ao ninho

Carga
Tempo de Viagem + Tempo de Busca

Trace uma reta na figura acima, cuja inclinação seja essa taxa

Usando o gráfico, faça uma estimativa da carga que maximiza essa taxa.

Se o tempo de viagem aumentar, a carga ótima aumenta ou diminui? Por quê?

Opção 2 - Produção de um Pomar: A figura a seguir mostra a produção anual y(t) (em barris por ano) de um pomar, t anos depois de plantado.

As árvores levam 10 anos para se estabelecerem, mas pelos 20 anos seguintes dão uma produção substancial. Porém, depois de 30 anos, a idade e as doenças começam a influir e a produção anual cai.

Represente, em um esboço da figura acima, a produção total, P(T), até o tempo T, com 0 ≤ T ≤ 60. Escreva uma expressão para P(T) em termos de y(t).

Esboce um gráfico de P(T) em função de T para 0 ≤ T ≤ 60.

Escreva uma expressão para a produção anual média, a(T), até T anos.

Agora a questão importante: Quando o pomar deve ser cortado e replantado? Suponha que você quer maximizar sua receita média por ano, e que os preços das frutas fiquem constantes, de modo que isso pode ser feito com êxito maximizando a produção anual média. Use o gráfico de y(t) para estimar quando a produção anual média é máxima. Explique sua resposta geométrica e algebricamente.

Coordenador do Curso

O atual coordenador do curso é o Prof. Rubens José Nadalin. Entre em contato com ele para esclarecer dúvidas sobre o curso de Geologia (prazos, matrículas, etc.). Mas lembre-se, a página do curso é sua amiga.