CM042 - Cálculo II
Segundo Semestre de 2010
Seg, Qua e Sex, 7:30 - 9:30, Sala CT07

Página do Curso para essa disciplina

Informações sobre o Curso de Engenharia Cartográfica

Funções vetoriais de uma variável real. Cálculo diferencial de funções de mais de uma variável. 
Integração múltipla. Cálculo vetorial. Teoremas de Green, Gauss e Stokes. Tópicos de Cálculo.

Professor Alexandre Trovon e-mail: trovon@ufpr.br Fone: (41) 3361 3263 Fax:   (41) 3361 3019 Atendimento 3o andar do prédio da administração

         Livro-Texto

• Cálculo de Várias Variáveis, de William G. MacCallum, Deborah Hughes-Hallett Andrew M. Gleason, et al. Editora Blucher.

• Cálculo Vol. II, 5a edição, de James Stewart, publicado pela Editora Thomson.

Há diversos livros de cálculo que poderíamos estar seguindo. Entretanto, a grande maioria constrói a teoria ancorados em situações tradicionalmente muito teóricas. Os livros acima citados são de uma nova safra, construídos com base em pesquisas orientadas pela Universidade de Harvard. Eles constróem a teoria através de investigação de problemas, a maioria reais.

O primeiro livro apresenta todo o conteúdo de uma forma sucinta, com base na exploração de inúmeras situações reais. Nesse link você encontra a solução dos exercícios. O segundo contém todo o conteúdo, em uma forma um pouco mais aprofundada. Na biblioteca há vários volumes dele, facilitando bastante a consulta.

Descrição do Curso

Em um curso de ciência aplicada, como é o caso de Engenharia Cartográfica, a matemática não é “um fim em si mesma” mas uma ferramenta para se tirar conclusões, fazer previsões e analisar fenômenos.  É nesse contexto de “modelagem matemática” que o cálculo aparece como ferramenta. Isso pode ser esquematizado assim:

Da interpretação da solução tiramos conclusões ou fazemos previsões sobre o fenômeno.

É sob essa ótica que trataremos os conteúdos: partindo de uma situação real apresentaremos as ferramentas necessárias do cálculo.

Nas aulas, e nas provas, utilizaremos calculadoras. Por isso, é interessante desde já providenciar uma calculadora científica simples.

Avaliação

A avaliação no curso consistirá de 02 provas, todas com igual peso, e um trabalho opcional. A seguir temos as datas das provas e o conteúdo (aproximado) referente a cada uma:

Trabalho

A seguir temos a descrição do trabalho (opcional) que deverá ser entregue até 03/12/2010.

Jogos e Entropia: Imagine que n times estejam concorrendo em um campeonato. No início da temporada, utilizando-se de diversos métodos, um torcedor experiente estimou que a probabilidade de o time i ganhar é algum número p_i onde 0 ≤ p_i ≤ 1 e  p₁+ p₂+...+ p_n = 1. Observe que exatamente um time vai ganhar, de modo que as probabilidades devem somar 1. Se um dos times, digamos o time i, tem certeza de ganhar então p_i = 1 e todos os outros  p_j devem ser iguais a 0. Outro caso extremo ocorre se todos os times tem igual probabilidade de ganhar, de modo que os p_i são iguais a 1/n e o resultado da temporada é completamente imprevisível. Dessa forma, a incerteza do resultado depende das probabilidades p₁, p₂,..., p_n. Neste problema medimos a incerteza quantitativamente utilizando a seguinte função de entropia (que vem da teoria da informação):

Observe que, como p_i ≤ 1 temos − log₂(p_i) ≥ 0 e portanto, S ≥ 0.

1. Verifique que lim_p→0p⋅log₂(p) = 0. Isso mostrará que S pode ser definida como uma função contínua dos p_i, se colocarmos p⋅log₂(p)|_p=0 igual a zero. Assim, S será uma função contínua em uma região fechada e limitada, atingindo um valor máximo e um valor mínimo nessa região.

2. Obtenha o valor máximo de S(p₁, p₂,..., p_n) sujeito à condição p₁+ p₂+...+ p_n = 1. Quais são os valores dos p_i nesse caso? O que significa sua resposta em termos da incerteza quanto ao resultado da temporada?

3. Obtenha o valor mínimo de S(p₁, p₂,..., p_n) sujeito à condição p₁+ p₂+...+ p_n = 1. Quais são os valores dos p_i nesse caso? O que significa sua resposta em termos da incerteza quanto ao resultado da temporada?

Monitoria

Coordenador do Curso

A atual coordenadora do curso é a Profa. Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti. Entre em contato com ela para esclarecer dúvidas sobre o curso de Engenharia Cartográfica (prazos, matrículas, etc.). Mas lembre-se, a página do curso é sua amiga.

    Alexandre Trovon , Departamento de Matemática - UFPR, Curitiba, PR 81531-990