As aulas ocorrerão todas as quartas-feiras, das 13h30 às 15h30 na sala PC 17 (bloco de exatas).
Como faz parte do rol dos "tópicos", essa disciplina não possui uma ementa fixa. Para esse ano, podemos definir a ementa como sendo mais ou menos o seguinte:
Análise crítica de trechos das traduções correntes dos Elementos de Euclides; tradução desses trechos para a língua portuguesa moderna, fazendo uso da linguagem matemática atual.
As partes a serem estudadas e traduzidas serão definidas na primeira aula, em comum acordo com todos. Em seguida, haverá uma divisão em grupos de trabalho que serão colocados aqui.
Euclid's Elements in Greek, de Richard Fitzpatrick. Esta edição é bilingue (grego e inglês). O autor nos autorizou a usar sua tradução para o inglês, que pode ser baixada aqui. Esse autor também mantém aqui uma página sobre os Elementos.
Elementos de Euclides, tradução portuguesa, feita por uma feita em 1774 por João Chrysostomo de Faria e Sousa de Vasconcellos e Sá, com base base tradução latina de Frederico Commandino (1506 - 1575), e publicada pela Universidade de Coimbra em 1855. (Houve uma adaptação dessa edição que foi publicada no Brasil em 1940 pelas Edições Cultura. Ela pode ser baixada aqui.) Os seis primeiros livros estão disponíveis na página NONIUS mantida por Jaime Carvalho e Silva do Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra.
The Thirteen Books of Euclid's Elements é uma tradução feita por Thomas Heath. O ponto forte dessa edição são os comentários que o autor faz sobre as definições, postulados teoremas e os termos usados por Euclides.
Há também a tradução espanhola dos elementos, feita por María Luisa Puertas Castaños com base na de Heath. Há descuidos com os acréscimos ao texto original de Euclides sem qualquer aviso ao leitor. Entretanto, os comentários ao texto são muito bons e o livro vale por isso.
Finalmente, existem versões eletrônicas dos Elementos, algumas trazendo animações em java para elucidar as demonstrações. Há o excelente site de David Joyce, e também o site espanhol "Euclides" com muitas informações interessantes. Vale dar uma checada.
Não há, em língua portuguesa moderna, uma edição crítica dos Elementos de Euclides. Por isso, teremos que utilizar várias referências para termos uma idéia clara da maneira como Euclides apresenta os objetos matemáticos. A referência principal é a tradução de Richard Fitzpatrick. Como guias adicionais ficam as traduções portuguesa e espanhola. Finalmente, para esclarecimentos de detalhes e comentários sobre as definições, postulados, teoremas e os termos usados por Euclides ficam as anotações de Heath, Castaños e as do site de David Joyce.
A tradução portuguesa publicada pela Universidade de Coimbra em 1855, encontra-se aqui. Infelizmente, ela carrega alguns problemas, talvez pela própria tradução de Commandino, incluindo acréscimos e comentários (até mesmo imprecisões) como se constassem no original. Isso pode ser fonte de problemas na geometria ensinada hoje nos diversos países de língua portuguesa e hispânica. Para ser mais claro, vejamos um exemplo.
O termo “círculo” aparece a primeira vez na Definição 15, do Livro I. Nela encontramos:
Circulo é uma figura plana, fechada por uma só linha [a qual se chama circumferencia] de maneira que todos as linhas rectas, que de um certo ponto existente no meio da figura, [se conduzem para a circumferencia,] são eguaes entre si.
Tradução Portuguesa da versão latina de Frederico Commandino Imprensa Universidade de Coimbra, 1855.
Observe que marcamos alguns textos em vermelho e os colocamos entre colchetes. Na tradução portuguesa eles são parte integrante do texto sem nenhuma tipo de "aviso" ao leitor de que se trata de acréscimos. Apesar deles aparecerem em alguns manuscritos, Heiberg os omite em sua edição dos “Elementos”, uma vez que não constam das fontes mais fidedignas (Proclo, Tauro, Sexto Empírico, Boecio). Poderíamos entrar mais a fundo nessa questão, entretanto queremos destacar que se a definição de circunferência for tomada como apenas o contorno, e a de círculo como a do contorno juntamente com o interior, fatalmente chegaremos a imprecisões na compreensão dos Elementos. Observe: um pouco mais adiante, na Proposição 10, do Livro III encontramos:
Um círculo não corta outro círculo em mais que dois pontos.
Ora, se Euclides estivesse considerando aqui o círculo como o contorno junto com o interior, haveria a possibilidade de uma infinidade de pontos na intersecção. Portanto, fica claro que ao dizer “círculo” na proposição acima, Euclides está se referindo somente ao contorno. Há outros exemplos dos próprios Elementos, mostrando que Euclides usa os termos "círculo" e "circunferência" como sinônimos. Nos países anglo-saxões, as traduções correntes dos “Elementos” costumam omitir os acréscimos, seguindo a tradição de Heiberg. Nesses países, há um uso um pouco diferente do termo circunferência:
Circunferência é o comprimento do contorno do um círculo (2 π r).
De fato, nesses países há também o uso de “circunferência” como o lugar geométrico dos pontos que distam uma mesma medida de um ponto dado, usando-se o termo circunferência tanto para o contorno quanto para sua medida. Isso parece bastante razoável, pois é o que fazemos, por exemplo, com o raio: ele pode tanto significar o segmento que vai do centro até o contorno, quanto sua medida.
Esse exemplo mostra como pode ser importante para o estudante uma análise apurada dos elementos. Por isso, o objetivo da disciplina é que, sob a supervisão do professor, os alunos produzam uma tradução crítica de uma parte dos Elementos para a língua portuguesa moderna (falada no Brasil). Para isso, serão utilizadas as traduções: portuguesa, e a recente tradução de Richard Fitzpatrick, da Universidade de Austin, que gratuitamente cedeu-a para nosso uso. O que se deve destacar na tradução de Fitzpatrick é sua atualidade, trazida para a língua corrente, o que a torna bem mais acessível, sem perder a conformidade com o original. Escolheremos uma parte dos Elementos e a dividiremos em vários grupos, tentando deixar cada um com um "assunto inteiro". O grupo então fará a tradução com base no texto de Fitzpatrick comparando-o com a tradução portuguesa, e adaptando-o à nossa língua corrente. Será de suma importância que os alunos entendam os termos, façam esquemas visuais, criem figuras para as demonstrações, e adaptem tudo à nossa realidade matemática. Finalmente, farei uma revisão crítica de todas as traduções, produzindo um material em html pare ser acessível via web. Acredito que isso será uma significativa contribuição dada pela disciplina.
Feita a divisão dos grupos, e os trabalhos passados a cada um, haverá dois requisitos essenciais, em que consistirá a avaliação:
Uma apresentação oral: num primeiro momento o grupo lê e faz anotações (reflexões) críticas da parte dos Elementos que deverá traduzir, de acordo com a versão de Fitzpatrick. Da apresentação devem constar: 1) o significado matemático dos termos utilizados; 2) as definições, postulados e provas feitas na linguagem matemática atual; 3) a limpeza dos acréscimos indevidos ao texto português; 4) as adaptações à língua corrente.
A Tradução em si: essa deverá ser entregue como um arquivo (preferencialmente em word ou html) que será lido e analisado por mim. Farei: 1) uma comparação do texto de Fitzpatrick com a tradução feita pelos alunos; 2) verificarei, ao mesmo tempo, a coerência e atualidade dos termos matemáticos, figuras e explicações, 3) analisarei a fidedignidade do texto (se há intenções diferentes, ou comentários e explicações equivocadas).
Atenção! Nem tudo que consta da internet é digno de crédito. Por isso, cópias e/ou colagens de textos ou figuras da internet sumariamente invalidarão o trabalho. Por isso, não perca seu tempo (nem o meu) com essa prática, pois será conferido trabalho a trabalho, figura a figura.
O atual coordenador do curso é o Prof. Alexandre Kirilov. Entre em contato com ele para esclarecer dúvidas sobre o curso de matemática (prazos, matrículas, etc.). Mas lembre-se, a página do curso é sua amiga.
Um dos maiores desafios nessa disciplina será "esquecer" as idéias pré-concebidas, que nos são passadas desde o ensino fundamental, e se concentrar na pergunta: "o que Euclides queria dizer com isso?". Ela nos levará, invariavelmente, a uma maneira diferente de pensar e ver a matemática, onde tentamos "pensar como Euclides" para entender o que se passava em sua mente. Em minha opinião, essa é a maneira correta de se estudar a história da matemática.
Que tal comer alguma coisa antes da aula das 13h30? No almoço também se conversa sobre matemática. Geralmente você me encontrará em algum dos lugares próximos ao politécnico: RU, shopping jardim das américas, mercadorama, cantina da china, tomodati, etc.
Alexandre Trovon
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Departamento de Matemática - UFPR, Curitiba, PR 81531-990
Atualizado em 26/02/2007 21:13
