Prof. Alexandre Kirilov

Departamento de Matemática

Espaços Métricos - 2022

Nesta página você encontra o diario de classe, com um resumo do que foi visto nas últimas aulas e o que está previsto para as próximas.

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Diário de classe

[20/10/22] 1ª aula: Apresentação da disciplina e início das aulas. Definimos métrica e espaço métrico e demos os seguintes exemplos: a) métrica zero-um em qualquer conjunto X; b) métrica usual na reta; c) métrica do supremo no conjunto da funções limitadas; d) métricas da soma, do máximo e euclidiana em ℝⁿ. Definimos espaço normado e demos os seguintes exemplos: a) normas da soma, do máximo e euclidiana em ℝⁿ; b) norma do supremo no espaço vetorial das funções limitadas.
Páginas 1 a 5 do livro do Elon
[21/10/22] 2ª aula: Definimos espaço com produto interno. Como exemplo falamos do produto interno usual em ℝ, e do produto interno definido pela integral no espaço das funções reais contínuas definidas no intervalo [0,1]. Definimos o produto cartesiano de espaços métricos com as métricas da soma e do máximo. Falamos de subespaço métrico, com a métrica induzida. Definimos bolas abertas, bolas fechadas e esferas em um espaço métrico. Discutimos o formato das bolas em ℝⁿ em relação às métricas usuais: bolas redondas e bolas quadradas.
Páginas 6 a 10 do livro do Elon
[27/10/22] 3ª aula: Falamos de bolas no espaço métrico B([a,b],ℝ) das funções limitadas com a métrica do sup. Mostramos que uma bola no espaço produto coincide com o produto de bolas, quando o espaço produto está munido da métrica do máximo. Definimos ponto isolado e espaço discreto e demos exemplos. Mostramos que em um espaço normado não existem pontos isolados, quando o espaço está munido da métrica induzida pela norma. Definimos conjunto limitado e diâmetro. Mostramos que o diâmetro da bola aberta B(a,r) é menor ou igual a 2r, e que em um espaço vetorial normado o diâmetro da bola aberta B(a,r) é exatamente 2r. Também provamos que um conjunto é limitado se e somente se está contido em alguma bola aberta.
Páginas 50 a 54 do livro do Hygino
[28/10/22] 4ª aula: Definimos a distância de ponto a conjunto, ponto que realiza distância e distância entre conjuntos. Provamos as seguintes propriedades para a bola aberta: (P1) Se r≤s ⇒ B(a,r)⊂B(a,s); (P2) b∈B(a,r) ⇒ ∃s>0; B(b,s)∈B(a,r); (P3) c∈B(a,r)∩B(b,s) ⇒ ∃t>0; B(c,t) ⊂ B(a,r) ∩ B(b,s); (P4) d(a,b) ≥ r+s ⇒ B(a,r) ∩ B(b,s) = ∅.
Páginas 54 a 57 do livro do Hygino
[03/11/22] 5ª aula: Estabelecemos que duas métricas são equivalentes quando é possivel colocar em qualquer bola, em relação a uma métrica, uma bola de mesmo centro em relação a outra métrica. Provamos que quando duas métricas são equivalentes, qualquer bola aberta em relação a uma das métricas pode ser escrita como reunião de bolas abertas em relação a outra métrica. Mostramos que quando duas métricas d e d' satisfazem r d(x,y) ≤ d'(x,y) ≤ s d(x,y), para todo x,y∈ M, então d e d' são métricas equivalentes. Verificamos que as métricas usuais de ℝⁿ (da soma, do máximo e euclidiana) são equivalentes. Estabelecemos que duas normas são equivalente quando as métricas induzidas são equivalentes. Provamos que duas normas são equivalentes se e somente se satisfazem uma desigualdade do tipo r||x|| ≤ ||x||' ≤ s ||x||, para todo x no espaço vetorial
Páginas 58 a 62 do livro do Hygino
[04/11/22] 6ª aula: Definimos limite de sequência em um espaço métrico e demos exemplos de sequências que convergem e não convergem. Provamos que o limite, quando existe, é único. Provamos que se duas métricas são equivalentes então uma sequência converge em uma métrica para um limite se e somente se ela converge na outra métrica para este mesmo limite. Definimos sequência limitada e mostramos que toda sequência convergente é limitadas.
Páginas 62 a 69 do livro do Hygino
[10/11/22] 7ª aula: Aulas dispensadas a pedido da Coordenação do Curso, para que os alunos possam participar da J3M. A frequência desta aula será contabilizada pela participação do estudante na sessão da J3M realizada no horário da aula.
[11/11/22] 8ª aula: Aulas dispensadas a pedido da Coordenação do Curso, para que os alunos possam participar da J3M. A frequência desta aula será contabilizada pela participação do estudante na sessão da J3M realizada no horário da aula.
[17/11/22] 9ª aula: Definimos conjunto aberto em um espaço métrico (todo ponto do conjunto é centro de uma bola aberta contida no próprio conjunto) e mostramos que um conjunto é aberto se e somente se pode ser escrito como reunião de bolas abertas. Também mostramos que um conjunto é aberto em um subespaço se e somente se é a interseção de um aberto do espaço todo com este subespaço. A seguir provamos que a família de conjuntos abertos de um espaço métrico é um topologia (ou seja: ∅ e M são abertos, a interseção de dois abertos é um aberto, e a reunião arbitrária de abertos é um aberto). Concluímos a aula mostrando que métricas equivalentes geram a mesma topologia (abertos em relação a uma métrica também são abertos em relação a outra métrica equivalente).
Páginas 77 a 80 do livro do Hygino
[18/11/22] 10ª aula: Definimos ponto interior de um conjunto (alguma bola aberta contida centrada neste ponto está contida no próprio conjunto) e interior de um conjunto (conjunto dos pontos interiores). Mostramos que um conjunto é igual a seu interior se e somente se é aberto. Definimos conjunto fechados (como complementares de abertos) e provamos suas principais propriedades (∅ e M são fechados, a reunião de dois fechados é um fechado, e a interseção arbitrária de fechados é um fechados). Definimos ponto aderente (qualquer bola aberta de centro neste ponto sempre interceptam o próprio conjunto) e fecho de um conjunto (conjunto dos pontos aderentes). Provamos que o complementar do fecho de um conjunto é igual ao interior do complementar deste mesmo conjunto; que um conjunto é fechado se e somente se é igual a seu fecho; e que um ponto é aderente a um conjunto se e somente se a distância deste ponto ao conjunto é zero.
Páginas 80 a 83 do livro do Hygino
[24/11/22] 11ª aula: Semana Integrada de Ensino, Pesquisa e Extensão.
Entregar lista de exercícios até 27/11.
[25/11/22] 12ª aula: Semana Integrada de Ensino, Pesquisa e Extensão.
Entregar lista de exercícios até 27/11.
[01/12/22] 13ª aula: Provamos que o diâmetro de um conjunto qualquer é igual ao diâmetro do seu fecho. Também mostramos que um ponto é aderente a um conjunto A se e somente se é limite de uma sequência de elementos de A. Definimos conjunto denso em um espaço métrico e mostramos que qualquer subconjuntos denso intersecta abertos não vazios do espaço métrico. Definimos ponto de acumulação e conjunto derivado. Mostramos que se p ∉A' então ∃ ε>0 tal que [B(p,ε) – {p}]∩A=∅. Também provamos que em um conjunto infinito A vale: p ∈ A' se e somente se exite uma sequência {x_n}_n∈ℕ de pontos de A, dois a dois distintos, com lim x_n = p. Concluímos a aula provando que F⊂M é fechado se e somente se F'⊂F.
Páginas 84 a 86 do livro do Hygino
[08/12/22] 14ª aula: Definimos função contínua entre espaços métricos (usando ε e δ). Provamos que uma função f:M→N é contínua em um ponto p∈M se e somente se, para qualquer bola B' centrada em f(p)∈N, existe uma bola B centrada em p∈M tal que f(B)⊂B'. Também provamos que se f:(M,d)→(N,d*) é contínua, dº~d e d¹ ~d*, então f:(M,dº)→(N,d¹) é contínua. A seguir demos exemplos importantes de funções contínuas: imersões isométricas (inclusões e translações), contrações fracas (projeções, além de soma e norma em um espaço vetorial normado); e aplicações lipschitzianas (homotetias).
Páginas 89 a 92 do livro do Hygino
[15/12/22] 15ª aula: Estudamos diversas caracterizações de continuidade (por sequências convergentes, por abertos e por fechados). Começamos mostrando que uma função é contínua em um ponto se e somente se é sequencialmente contínua neste ponto. A seguir provamos que a continuidade de uma função é equivalmente a imagem inversa de um aberto ser um aberto (o que é equivalente a imagem inversa de qualquer fechado ser um fechado, por complementaridade). Este resultado permite provar resultados tais como: se f:M → ℝ é contínua então A={x∈M; f(x)>a} e B={x∈M; f(x)≠a} são abertos, enquanto que F={x∈M; f(x)≤a} e G={x∈M; f(x)=a} são fechados.
Páginas 94 a 97 do livro do Hygino
[16/12/22] 16ª aula: Vimos que a composição de aplicações contínuas é uma aplicação contínua e algumas aplicações. Mostamos que uma fução com contradomínio em um produto de espaços métricos é contínua se, e somente se, cada uma de suas funções coordenadas é contínua. Discutimos a continuidade de operações com aplicações contínuas em espaços vetoriais normados (adição e multiplicação por escalar) e comtinuidade do produto e do quociente, quando o contradomínio é ℝ. Concluímos a aula provando dois resultados importantes sobre transformações lineares entre espaços vetoriais normados E e F:
1º) T:E→F é contínua ⇔ T é contínua em u=0 ⇔ ∃k>0 tal que ||Tu||≤ k||u||, ∀u∈E.
2º) Toda transformação linear T:ℝⁿ→E é contínua.
Páginas 98 a 102 do livro do Hygino
[22/12/22] 17ª aula: Discussão de ideias e resolução de exercícios de espaços métricos, topologia dos espaços métricos e funções contínuas entre espaços métricos.
[23/12/22] 18ª aula: 1ª prova
Recesso de fim de ano: de 24/12/2022 a 15/01/2023
[19/01/23] 19ª aula: Definimos continuidade uniforme e demos exemplos de funções que são (e que não são) uniformemente contínuas. Mostramos que se rd(x,y)≤ d*(x,y)≤ rd(x,y), para todo x,y ∈M, então f:(M,d)→(N,d') é uniformemente contínua se e somente se f:(M,d*)→(N,d') é uniformemente contínua. Vale um resultado análogo para métricas em N. Na sequência introduzimos a noção de espaços métricos homeomorfos e mostramos que duas bolas quaisquer no plano euclidiano ℝ² são homeomorfas.
Páginas 102 a 107 do livro do Hygino (fazer exercícios 20 a 25 da página 117)
[20/01/23] 20ª aula: Começamos a aula mostrando que que o domínio de uma função contínua é homeomorfo ao gráfico desta função. A seguir, mostramos que a bola aberta B(0,1) de um espaço normado é homeomorfa ao espaço todo. Também definimos a projeção estereográfica e desenvolvemos todos os cálculos para provar que S¹-{(0,1)} é homeomorfo a ℝ. Concluímos a aula mostrando que duas métricas d e d' sobre um espaço métrico M são equivalentes se, e somente se, a aplicação identidade i: (M,d) → (M,d') é um homeomorfismo.
Páginas 107 a 113 do livro do Hygino (fazer exercícios 26 a 33 da página 117)
[26/01/23] 21ª aula: Começamos a aula definindo compacidade via sequências (um conjunto K é compacto se todas sequência tem subsequência convergindo para um ponto de K). Mostramos que todo conjunto fechado contido em um compacto, também é compacto; que todo compacto é fechado; e que funções contínuas preservam compacidade. Como consequência do último resultado, mostramos que o produto cartesiano de dois conjuntos é compacto se e somente se cada um destes conjuntos no produto é compacto. A seguir definimos conjunto totalmente limitado e provamos que todo compacto é totalmente limitado, e portanto limitado. Desta forma mostramos que todo compacto é limitado e fechado, mas não vale a recíproca, ou seja, existem conjuntos limitados e fechados que não são compactos (por exemplo, a reta ℝ com a métrica zero-um). Concluímos a aula mostrando que, no espaço ℝⁿ com a métrica euclidiana (ou equivalentes) ser compacto é equivalente a ser limitado e fechado.
Páginas 119 a 122 do livro do Hygino
[27/01/23] 22ª aula: Mostramos que se M é compacto e f:M → ℝ é contínua então f assume os valores de máximo e de mínimo. Também mostramos que se M é compacto e f:M → N é contínua então f é uniformemente contínua. A seguir mostramos que dados K⊂M compacto e A⊂M qualquer, existe p∈K tal que dist(p;A)=dist(K,A). Como corolário que se A e K forem compactos em M então existem p∈K e q∈A tais que dist(p;q)=dist(K,A); e que se K é compacto, A é fechado e A∩K=∅, então dist(K,A)>0.
Páginas 123 a 126 do livro do Hygino
[02/02/23] 23ª aula: Definimos cobertura aberta, subcobertura finita e propriedade de Heine-Borel. A seguir provamos que qualquer espaço métrico que satisfaça a propriedade de Heine-Borel é compacto. Na sequência mostramos que toda cobertura aberta de um compacto possui um número de Lebesgue. Lembrando que todo conjunto compacto é totalmente limitado, usamos o número Lebesgue paea provar que todo compacto satisfaz a condição de Heine-Borel.
Páginas 126 a 129 do livro do Hygino
[03/02/23] 24ª aula: Definimos conjunto desconexo, desconexão e conjunto conexo. Provamos que um espaço métrico M é desconexo se, e somente se, existe uma função contínua f: M → {0,1}. Em seguida mostramos que continuidade preserva conexidade e demos alguns exemplos de conjuntos conexos. Mostramos que a reunião de dois conexos com um ponto de comum gera um novo conjunto conexo. Também provamos que um espaço métrico no qual quaisquer dois pontos estão em um mesmo conjunto conexo é conexo. Usamos estes resultados para provar que o produto cartesiano de dois conjuntos é conexo se e somente se cada um dos conjuntos é conexo.
Páginas 133 a 136 do livro do Hygino
[09/02/23] 25ª aula: Começamos a aula provando que intervalos com pelo menos um dos extremos fechado são conexos. A seguir provamos que qualquer intervalo da reta é conexo. Finalmente mostramos que um subconjunto da reta com mais de um ponto é conexo se e somente se é um intervalo. A seguir definimos caminhos em um espaço métrico e conexidade por caminhos. Demos alguns exemplos e concluímos a aula provando que todo conjunto conexo por caminhos é conexo
Páginas 136 a 140 do livro do Hygino
[10/02/23] 26ª aula: Começamos a aula provando dois lemas: 1) o fecho de um conexo é um conexo; e 2) a reunião de uma família de conexos com interseção não vazia é um conjunto conexo. A seguir definimos a componente conexa de p∈M como sendo a reunião C(p) de todos os conexos que contém p. Mostramos que C(p) é não vazio, conexo e fechado. Também apresentamos a relação de equivalência: p~q, se e só se, existe um conexo A⊂M tcom p,q∈A. E mostramos que a classe de equivalência de ∈M é [p] = {q∈ M; q~p} = C(p), e portanto o conjunto quociente M/~ = {C(p); p\in M}. Ou seja, as componentes conecas de um espaço métrico o decompõe em uma reunião de conexos, fechados, não vazios e dois a dois disjuntos.
Páginas 131 e 142 do livro do Hygino
[16/02/23] 27ª aula: Definimos sequência de Cauchy em um espaço métrico. Mostramos que: 1) toda sequência convergente é de Cauchy; 2) Toda sequência de Cauchy é limitada; 3) Toda sequência de Cauchy que possui subsequência convergente é convergente; 4) Se f:M→N é uniformemente contínua e (x_n) é de Cauchy, então (f(x_n) é de Cauchy. 5) As sequências (x_n) e (y_n) são de Cauchy em M e N respectivamente, se e só se, ((x_n,y_n)) é de Cauchy em M×N. A seguir definimos espaço métrico completo, demos exemplos de espaços não completos e provamos que ℝ é completo. Provamos que M×N é completo se e só se M e N são completos e consequentemente ℝⁿ é completo para todo n.
Páginas 145 a 149 do livro do Hygino
[17/02/23] 28ª aula: Provamos que todo espaço métrico compacto é completo. E que se um espaço métrico possui um subconjunto denso A⊂M tal que, Toda sequência de Cauchy em A converge para um ponto de M então M é completo. Definimos o completamento de um espaço métrico e provamos que todo espaço métrico admite um completamento: Para isso, definimos uma relação de equivalência no conjunto S das sequências de Cauchy em M, que gerou um conjunto quociente 𝕄=S/~ no qual introduzimos uma métrica. A seguir definimos uma isometria f:M → 𝕄 e provamos que f(M) é denso em 𝕄 e que 𝕄 é completo.
Páginas 149 a 153 do livro do Hygino
[23/02/23] 29ª aula: Discussão de ideias e resolução de exercícios envolvendo compacidade, conexidade e completude de espaços métricos.
[24/02/23] 30ª aula: 2ª prova
[02/03/23] Exame final