CENTENO

Um pouco de Matemática

Matriz covariância 510.17 559.43 -335.00
559.43 647.26 78.40
-335.00 78.40 9701.23

M- I*L =    | (510.17-L) 559.43     -335.00 |
det| 559.43     (647.26-L) 78.40 |=0
   |-335.00    78.40    (9701.23-L)| Autovalores: L1= 9713.8; L2=1139.2 3 L3=5.62

Os autovetores são as colunas da seguinte matriz: -0.7515 0.6588 -0.0360
0.6590 0.7521 0.0064
-0.0313 0.0189 0.9993

Autovalores Dada uma matriz quadrada, definida positiva, como a matriz de variância- covariância de uma imagem de satélite, os escalares L que satisfazem a equação abaixo são chamados de Autovalores associados à matriz. Os autovalores de uma matriz são as raizes de seu polinômio característico:
det( A - L * I)=0 O cálculo de det(M- I*L)=0 ... gera um polinômio cujo grau é igual à dimensão da matriz. Em nosso caso, por exemplo, o número de bandas.

Autovetores
definição: Seja uma matriz A quadrada, positiva e definida e L seus autovalores. Se existe um vetor x não nulo que satisfaz a relação a seguir, este vetor é chamado de autovetor associado ao autovalor L. Ou seja, x é chamado de autovetor (vetor característico) da matriz associado ao autovalor L. A * x = L * x Considerando o exemplo ao lado, uma das raízes do polinômio é L=5.6. Substituindo este valor na equação dos autovetores temos: | 510.17 559.43 -335.00 | |x1| |5.6* x1|
| 559.43 647.26 78.40 |*|x2|=|5.6* x2|
| -335.00 78.40 9701.23 | |x3| |5.6* x3|
ou três equações: | (510.17-5.6) 559.43 -335.00 | |x1|
| 559.43 (647.26-5.6) 78.40 |*|x2|=0
|-335.00 78.40 (9701.23-5.6)| |x3|
ou | 504.6 559.4 -335.0| |x1|
| 559.4 641.66 78.4 |*|x2|=0
|-0.335 78.4 9695.6 | |x3|
do que resulta o vetor x={-0.7515 0.6590 -0.0313}'
De forma análoga dois outros vetores são calculados para os outros autovalores, resultando um novo sistema de 3 autovalores, como mostrado ao lado.
Tarefa: Verifique se estes três vetores são ortogonais.

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