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BE8-fa

Viga biengastada com carga concentrada no vão

\(F\) Carga concentrada Apoio engastado \(R_1\) \(M_1\) Apoio engastado \(R_2\) \(M_2\) A viga A viga \(a\) Cota \(L\) Cota \(A\) \(x\) Identificador \(B\) Identificador flechas Flechas da viga momento fletor Momento fletor da viga esforço cortante Esforço cortante da viga

Informações sobre a figura e as equações:

  • As equações são definidas por tramos (tramo A, B...) e válidas somente no tramo indicado no índice (por exemplo, \(M_A\) é a equação do momento fletor somente para o tramo A);
  • Os valores de \(x\) começam em zero no início da viga à esquerda e vão até o valor do comprimento total da viga, no final da viga à direita, portanto, para usar uma equação de um segundo tramo, pode exemplo tramo B, deve-se calcular os valores de \(x\) para esse tramo (por exemplo, se o tramo anterior ao B é o primeiro tramo da viga e tem comprimento de 2,5 metros, o valor de x inicial do tramo B para ser utilizado nas equações é 2,5 metros. No primeiro tramo, \(x\) começa em zero);
  • Os gráficos de flechas, momentos e cortes estão com valores de escala constante e apenas representam o traçado do diagrama;
  • As reações de apoio indicadas na figura estão sempre no sentido positivo da reação. Caso alguma reação tenha o sentido negativo será definido pelo sinal da equação;

Legenda:

  • \(E\) - módulo de elasticidade do material da viga;
  • \(F\) - carga concentrada;
  • \(I\) - inércia da seção transversal da viga (em torno no eixo que sai da tela);
  • \(L\) - comprimento total da viga;
  • \(a\) - comprimento do tramo A;
  • \(x\) - posição em uma parte qualquer de um tramo da viga;

Equações

Flechas

\(\delta_A = \dfrac{F x^{2} \left(- 3 L^{3} a + L^{3} x + 6 L^{2} a^{2} - 3 L a^{3} - 3 L a^{2} x + 2 a^{3} x\right)}{6 E I L^{3}}\)

\(\delta_B = \dfrac{F a^{2} \left(L^{3} \left(a - 3 x\right) + 6 L^{2} x^{2} - 3 L x^{2} \left(a + x\right) + 2 a x^{3}\right)}{6 E I L^{3}}\)

Momentos fletores

\(M_A = \dfrac{F \left(- L^{3} a + L^{3} x + 2 L^{2} a^{2} - L a^{3} - 3 L a^{2} x + 2 a^{3} x\right)}{L^{3}}\)

\(M_B = \dfrac{F a^{2} \left(2 L^{2} - L \left(a + 3 x\right) + 2 a x\right)}{L^{3}}\)

Esforços cortantes

\(V_A = \dfrac{F \left(L^{3} - 3 L a^{2} + 2 a^{3}\right)}{L^{3}}\)

\(V_B = \dfrac{F a^{2} \left(- 3 L + 2 a\right)}{L^{3}}\)

Reações de apoio

\(R_1 = \dfrac{F \left(L^{3} - 3 L a^{2} + 2 a^{3}\right)}{L^{3}}\)

\(M_1 = \dfrac{F a \left(L^{2} - 2 L a + a^{2}\right)}{L^{2}}\)

\(R_2 = \dfrac{F a^{2} \left(3 L - 2 a\right)}{L^{3}}\)

\(M_2 = \dfrac{F a^{2} \left(- L + a\right)}{L^{2}}\)

Equações em python

Flechas

deltaA = F*x**2*(-3*L**3*a + L**3*x + 6*L**2*a**2 - 3*L*a**3 - 3*L*a**2*x + 2*a**3*x)/(6*E*I*L**3)
deltaB = F*a**2*(L**3*(a - 3*x) + 6*L**2*x**2 - 3*L*x**2*(a + x) + 2*a*x**3)/(6*E*I*L**3)

Momentos fletores

MA = F*(-L**3*a + L**3*x + 2*L**2*a**2 - L*a**3 - 3*L*a**2*x + 2*a**3*x)/L**3
MB = F*a**2*(2*L**2 - L*(a + 3*x) + 2*a*x)/L**3

Esforços cortantes

VA = F*(L**3 - 3*L*a**2 + 2*a**3)/L**3
VB = F*a**2*(-3*L + 2*a)/L**3

Reações de apoio

R1 = F*(L**3 - 3*L*a**2 + 2*a**3)/L**3
M1 = F*a*(L**2 - 2*L*a + a**2)/L**2
R2 = F*a**2*(3*L - 2*a)/L**3
M2 = F*a**2*(-L + a)/L**2