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BE9-ff

Viga biengastada com duas cargas concentradas no vão assimétricas

\(F\) Carga concentrada \(F\) Carga concentrada Apoio engastado \(R_1\) \(M_1\) Apoio engastado \(R_2\) \(M_2\) A viga A viga A viga \(a\) Cota \(b\) Cota \(L\) Cota \(A\) \(x\) Identificador \(B\) Identificador \(C\) Identificador flechas Flechas da viga momento fletor Momento fletor da viga esforço cortante Esforço cortante da viga

Informações sobre a figura e as equações:

  • As equações são definidas por tramos (tramo A, B...) e válidas somente no tramo indicado no índice (por exemplo, \(M_A\) é a equação do momento fletor somente para o tramo A);
  • Os valores de \(x\) começam em zero no início da viga à esquerda e vão até o valor do comprimento total da viga, no final da viga à direita, portanto, para usar uma equação de um segundo tramo, pode exemplo tramo B, deve-se calcular os valores de \(x\) para esse tramo (por exemplo, se o tramo anterior ao B é o primeiro tramo da viga e tem comprimento de 2,5 metros, o valor de x inicial do tramo B para ser utilizado nas equações é 2,5 metros. No primeiro tramo, \(x\) começa em zero);
  • Os gráficos de flechas, momentos e cortes estão com valores de escala constante e apenas representam o traçado do diagrama;
  • As reações de apoio indicadas na figura estão sempre no sentido positivo da reação. Caso alguma reação tenha o sentido negativo será definido pelo sinal da equação;

Legenda:

  • \(E\) - módulo de elasticidade do material da viga;
  • \(F\) - carga concentrada;
  • \(I\) - inércia da seção transversal da viga (em torno no eixo que sai da tela);
  • \(L\) - comprimento total da viga;
  • \(a\) - comprimento do tramo A;
  • \(b\) - comprimento do tramo B;
  • \(x\) - posição em uma parte qualquer de um tramo da viga;

Equações

Flechas

\(\delta_A = \dfrac{F x^{2} \left(- 3 L^{3} a + L^{3} x + 6 L^{2} a^{2} - 3 L^{2} b^{2} - 3 L a^{3} - 3 L a^{2} x + 3 L b^{3} + 3 L b^{2} x + 2 a^{3} x - 2 b^{3} x\right)}{6 E I L^{3}}\)

\(\delta_B = \dfrac{F \left(L^{3} a^{2} \left(a - 3 x\right) + 3 L^{2} x^{2} \left(2 a^{2} - b^{2}\right) + 3 L x^{2} \left(- a^{3} - a^{2} x + b^{3} + b^{2} x\right) + 2 x^{3} \left(a^{3} - b^{3}\right)\right)}{6 E I L^{3}}\)

\(\delta_C = \dfrac{F \left(L^{3} \left(L^{3} - 3 L^{2} b - 3 L^{2} x + 3 L b^{2} + 6 L b x + 3 L x^{2} + a^{3} - 3 a^{2} x - b^{3} - 3 b^{2} x - 3 b x^{2} - x^{3}\right) + 3 L^{2} x^{2} \left(2 a^{2} - b^{2}\right) + 3 L x^{2} \left(- a^{3} - a^{2} x + b^{3} + b^{2} x\right) + 2 x^{3} \left(a^{3} - b^{3}\right)\right)}{6 E I L^{3}}\)

Momentos fletores

\(M_A = \dfrac{F \left(- L^{3} a + L^{3} x + 2 L^{2} a^{2} - L^{2} b^{2} - L a^{3} - 3 L a^{2} x + L b^{3} + 3 L b^{2} x + 2 a^{3} x - 2 b^{3} x\right)}{L^{3}}\)

\(M_B = \dfrac{F \left(L^{2} \left(2 a^{2} - b^{2}\right) + L \left(- a^{3} - 3 a^{2} x + b^{3} + 3 b^{2} x\right) + 2 x \left(a^{3} - b^{3}\right)\right)}{L^{3}}\)

\(M_C = \dfrac{F \left(L^{3} \left(L - b - x\right) + L^{2} \left(2 a^{2} - b^{2}\right) + L \left(- a^{3} - 3 a^{2} x + b^{3} + 3 b^{2} x\right) + 2 x \left(a^{3} - b^{3}\right)\right)}{L^{3}}\)

Esforços cortantes

\(V_A = \dfrac{F \left(L^{3} - 3 L a^{2} + 3 L b^{2} + 2 a^{3} - 2 b^{3}\right)}{L^{3}}\)

\(V_B = \dfrac{F \left(3 L \left(- a^{2} + b^{2}\right) + 2 a^{3} - 2 b^{3}\right)}{L^{3}}\)

\(V_C = \dfrac{F \left(- L^{3} + 3 L \left(- a^{2} + b^{2}\right) + 2 a^{3} - 2 b^{3}\right)}{L^{3}}\)

Reações de apoio

\(R_1 = \dfrac{F \left(L^{3} - 3 L a^{2} + 3 L b^{2} + 2 a^{3} - 2 b^{3}\right)}{L^{3}}\)

\(M_1 = \dfrac{F \left(L^{2} a - 2 L a^{2} + L b^{2} + a^{3} - b^{3}\right)}{L^{2}}\)

\(R_2 = \dfrac{F \left(L^{3} + 3 L a^{2} - 3 L b^{2} - 2 a^{3} + 2 b^{3}\right)}{L^{3}}\)

\(M_2 = \dfrac{F \left(- L^{2} b - L a^{2} + 2 L b^{2} + a^{3} - b^{3}\right)}{L^{2}}\)

Equações em python

Flechas

deltaA = F*x**2*(-3*L**3*a + L**3*x + 6*L**2*a**2 - 3*L**2*b**2 - 3*L*a**3 - 3*L*a**2*x + 3*L*b**3 + 3*L*b**2*x + 2*a**3*x - 2*b**3*x)/(6*E*I*L**3)
deltaB = F*(L**3*a**2*(a - 3*x) + 3*L**2*x**2*(2*a**2 - b**2) + 3*L*x**2*(-a**3 - a**2*x + b**3 + b**2*x) + 2*x**3*(a**3 - b**3))/(6*E*I*L**3)
deltaC = F*(L**3*(L**3 - 3*L**2*b - 3*L**2*x + 3*L*b**2 + 6*L*b*x + 3*L*x**2 + a**3 - 3*a**2*x - b**3 - 3*b**2*x - 3*b*x**2 - x**3) + 3*L**2*x**2*(2*a**2 - b**2) + 3*L*x**2*(-a**3 - a**2*x + b**3 + b**2*x) + 2*x**3*(a**3 - b**3))/(6*E*I*L**3)

Momentos fletores

MA = F*(-L**3*a + L**3*x + 2*L**2*a**2 - L**2*b**2 - L*a**3 - 3*L*a**2*x + L*b**3 + 3*L*b**2*x + 2*a**3*x - 2*b**3*x)/L**3
MB = F*(L**2*(2*a**2 - b**2) + L*(-a**3 - 3*a**2*x + b**3 + 3*b**2*x) + 2*x*(a**3 - b**3))/L**3
MC = F*(L**3*(L - b - x) + L**2*(2*a**2 - b**2) + L*(-a**3 - 3*a**2*x + b**3 + 3*b**2*x) + 2*x*(a**3 - b**3))/L**3

Esforços cortantes

VA = F*(L**3 - 3*L*a**2 + 3*L*b**2 + 2*a**3 - 2*b**3)/L**3
VB = F*(3*L*(-a**2 + b**2) + 2*a**3 - 2*b**3)/L**3
VC = F*(-L**3 + 3*L*(-a**2 + b**2) + 2*a**3 - 2*b**3)/L**3

Reações de apoio

R1 = F*(L**3 - 3*L*a**2 + 3*L*b**2 + 2*a**3 - 2*b**3)/L**3
M1 = F*(L**2*a - 2*L*a**2 + L*b**2 + a**3 - b**3)/L**2
R2 = F*(L**3 + 3*L*a**2 - 3*L*b**2 - 2*a**3 + 2*b**3)/L**3
M2 = F*(-L**2*b - L*a**2 + 2*L*b**2 + a**3 - b**3)/L**2