Prof. Alexandre Kirilov

Departamento de Matemática

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Análise na Reta – 2021

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Diário de Classe e planejamento das aulas

Nesta página você encontra o diario de classe com o resumo das aulas dadas e o planejamento da disciplina para o semestre todo.

 

Diário de Classe

• [01/02/2022] 1ª aula: Apresentação da disciplina (programa, bibliografia e critérios de avaliação). Inicio do conteúdo: Começamos com uma grande revisão, recordando os conceitos de imagem direta e imagem inversa de um conjunto por uma função. Definimos função limitada, supremo e infimo de uma função. Falamos sobre composição de funções e função inversa, e concluímos falando de funções monótonas.
  [Referência: pág. 133-140 do livro "Análise Matemática para Licenciatura" de G. ávila]
  Tarefa: resolver, escanear e enviar para o professor a resolução de pelo menos 12 exercícios das páginas 138-139. Enviar o arquivo PDF para o seguinte endereço: analise.na.reta.ufpr@gmail.com
  Dica: use um aplicativo específico para escanear textos (CamScanner, Office Lens etc.) ou a ferramenta de escanear do Google Drive presente no seu celular (como usar?).
   
• [04/02/2021] 2ª aula: Definimos ponto interior, interior de um conjunto e conjunto aberto. Provamos que a união arbitrária e a interseção finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto. Definimos ponto aderente, fecho e conjunto fechado. Provamos que que a união finita e a interseção arbitrária de conjuntos fechados é um conjunto fechado.
  [Referência: pág. 140-142 do livro "Análise Matemática para Licenciatura" de G. Ávila] + [pág. 49-51 do livro "Análise Real, Vol. 1" de Elon L. Lima ]
   
• [08/02/2022] 3ª aula: Começamos a aula provando que um conjunto é fechado se e somente se seu o seu complementar é um conjunto aberto. Na sequência verificamos que é possível mostrar que união e interseção de conjuntos fechados é um conjunto fechado usando o resultado acima e as leis de De Morgan. A seguir definimos ponto de acumulação, ponto isolado, conjunto discreto e conjuntos densos, dando vários exemplos. Finalmente definimos conjunto compacto e provamos que todo subconjunto compacto da reta assume máximo e mínimo.
  [Referência: pág. 140-142 do livro "Análise Matemática para Licenciatura" de G. Ávila] + [pág. 49-51 do livro "Análise Real, Vol. 1" de Elon L. Lima ]
   
• [11/02/2022] 4ª aula: Demos as definições precisas de limite e de continuidade. Provamos o teorema da permanência do sinal e as propriedades aritméticas do limite. Provamos a caracterização da continuidade por sequências e analisamos o exemplo f(x)=sen(1/x) quando x tende a zero, justificando porque tal limite não existe.
  [pág. 142 a 146 do livro "Análise Matemática para Licenciatura" de G. Ávila]
   
• [15/02/2022] 5ª aula: Começamos a aula provando o critério de Cauchy para limites e que a composição de funções contínuas é uma função contínua. Vimos os passos para mostrar que toda função polinomial é contínua e que as funções racionais são contínua nos pontos em que o denominador é não nulo. A seguir definimos ponto de acumulação a esquerda e a direita de um conjunto, limites laterais a esquerda e a direita e continuidade lateral. Concluímos a aula provando que toda função monótona limitada têm limites laterais (justamente o supremo/ínfimo de f na vizinhança lateral daquele ponto).
  [pág. 147 a 152 do livro "Análise Matemática para Licenciatura" de G. Ávila]
   
• [18/02/2022] 6ª aula: Começamos a aula mostrando que o limite do produto de uma função limitada por outra que tende a zero é igual a zero e analisamos o exemplo f(x)=x.sen(1/x). A seguir introduzimos as definições de limites infinitos (f(x)→ ± ∞, quando x→a), limites no infinito (f(x)→ L, quando x→± ∞) e limites infinitos no infinito (f(x)→ ±∞, quando x→± ∞). Enunciamos e demos ideias para demonstração de alguns resultados elementares com soma, produto e quociente de limites deste tipo (adicionando hipóteses para evitar casos de indeterminação). Também provamos que toda função monótona limitada tem limite no infinito
  [pág. 152 a 154 do livro "Análise Matemática para Licenciatura" de G. Ávila]
   
• [22/02/2022] 7ª aula: Começamos a aula apresentando os tipos de descontinuidades de uma função: removível, salto (ou de primeira espécie) e descontinuidades de segunda espécie. A seguir provamos que as descontinuidades de uma função monótona são sempre do tipo salto e que seu conjunto de descontinuidades é no máximo enumerável. Para finalizar, enunciamos e demonstramos o teorema do valor intermediário (TVI) usando o método das bisseções.
  [pág. 155 a 162 do livro "Análise Matemática para Licenciatura" de G. Ávila]
   
• [25/02/2022] 8ª aula: Começamos a aula fazendo algumas aplicações do TVI: todo polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real e teorema do ponto fixo de Brower. A seguir demonstramos que a imagem de um intervalo por uma função contínua é um intervalo e apresentamos mais uma aplicação do TVI: e existência e unicidade da raiz n-ésima de qualquer número positivo. Concluímos a aula provando que que uma função contínua definida em um intervalo compacto é sempre limitada.
  [pág. 161 a 163 do livro do livro "análise matemática para licenciatura", do g. ávila]
   
• [04/03/2022] 9ª aula: Iniciamos a aula provando que toda função contínua definida em um intervalo compacto assume máximo e mínimo (Teorema de Weierstrass), consequentemete a imagem também será um intervalo compacto. A seguir provamos que toda função contínua e injetiva em um intervalo é crescente ou decrescente, e que possui inversa contínua.
  [pág. 164 a 166 do livro Análise Matemática para Licenciatura" de G. Ávila]
   
• [08/03/2022] 10ª aula: A derivada de uma função em um ponto, retas secante e tangente a gráfico de uma função derivável; a diferencial de uma função derivável. Regras operacionais com derivadas e regra da cadeia. Derivada da função inversa
  [pág. 175 a 181 do livro "Análise Matemática para Licenciatura" de G. Ávila]
   
• [11/03/2022] 11ª aula: Máximos e mínimos locais. Pontos críticos. Teorema de Rolle. Teorema do valor médio e aplicações (derivada nula em um intervalo implica na função ser constante; derivada positiva implica em crescimento local).
  [pág. 182 a 185 do livro "Análise Matemática para Licenciatura" de G. Ávila]
   
• [15/03/2022] 12ª aula: Resolução de exercícios
   
• [18/03/2022] 13ª aula: 1ª Prova
   
• [22/03/2022] 14ª aula: Começamos a aula fazendo uma revisão dos conceitos de supremo e ínfimo de conjuntos. A seguir falamos de supremos e ínfimo de funções e apresentando suas principais propriedades. A seguir definimos partição de um intervalo [a,b] e refinamento de partição; somas inferiores e somas superiores; integral inferior e integral superior; e função Riemann integrável.
  [pág. 121 a 124 do livro "Análise Real, Vol. 1", do Elon L. Lima]
   
• [25/04/2022] 15ª aula:  Mostramos que ao refinar uma partição as somas superiores não aumentam e as somas inferiores não diminuem, e que somas inferiores são menores que quaisquer somas superiores. Isso garante que a integral inferior existe e será menor que a integral superior. Com isso definimos função Riemann-integrável. A seguir provamos que uma função limitada f é integrável, se e somente se, S(f;P)-s(f;P) < ε. Também vimos exemplos de função integrável (constante) e não integrável (função de Dirichlet). Concluimos a aula provando que f limitada é integrável em [a,b] se, e somente se, as restrições de f a [a,c] e [c,b] são integráveis.
  [pág. 125 a 128 do livro "Análise Real, Vol. 1", do Elon L. Lima]
   
• [29/03/2022] 16ª aula: Começamos a aula mostrando que a integral é um operador linear, ou seja, que ∫(f+g)=∫f+∫g e que ∫cf =c∫f, para toda constante c. A seguir mostramos que se f ≥ g então ∫f ≥ ∫g; que as partes positiva f⁺ e negativa f^– de uma função integrável f são integráveis e concluímos que |f| integrável. Também vimos que |∫f| ≤ ∫|f|. Concluímos a aula provando que toda função monótona é integrável.
  [Integral: pág. 129 a 131 do livro "Análise Real, Vol. 1", do Elon L. Lima]
   
• [01/04/2022] 17ª aula: Começamos a aula mostrando que se f é contínua em [a,b] então ∀x,y∈[a,b], |x-y|<δ ⇒ |f(x)-f(y)|<ε (toda função contínua em [a,b] é uniformemente contínua). Usamos este fato para provar que toda função contínua em [a,b] é integrável. A seguir mostramos que se f(x) é integrável, então sua integral indefinida F(x)= ∫_a^x f(t)dt é contínua em [a,b]. A seguir provamos que F é derivável com F'=f, ou seja, que F é uma primitiva de f. Concluímos a aula provando a fórmula de mudança de variáveis na integral e a fórmula de integração por partes.
  [pág. 137 a 139 do livro "Análise Real, volume 1", do Elon L. Lima]
   
• [05/04/2022] 18ª aula: Definimos o logaritmo como a integral da função 1/t e provamos que log é crescente, derivável, positiva para x>1 e negativa para 0 &lq; x &lq; 1, e satisfaz as propriedades: log xy =log x +log y e log x^s = s log x, para qualquer s racional. Provamos log é uma bijetiva e definimos sua inversa, a função exp. A seguir provamos que a função exp é bijetiva, crescente e derivável, com (exp x)'=exp x. A seguir provamos que: exp(x+y)=(exp x)(exp y) e, denotando e=exp(1), mostramos que exp(r) = e^r, para todo r racional. Definimos potências com base a>0 por a^x = e^{x log(a)} e o logaritmo de base a>0 como sendo a inversa da função f(x)= a^x, ou seja, log_a(x)=y ↔ a^y=x. Provamos que o único número real (denotado "e") que satisfaz log(e)=1 é o número de Euler que já apareceu no estudo de sequências, ou seja, lim_n→∞ (1+1/n)ⁿ = e.
  [pág. 140 a 144 do livro "Análise Real, volume 1", do Elon L. Lima]
   
• [08/04/2022] 19ª aula: Começamos apresentando a definição e exemplos de convergência simples e introduzimos a noção de convergência uniforme a partir de um exemplo. A seguir provamos que o limite uniforme de uma sequência de funções contínuas é uma função contínua, e que o limite pode comutar com o sinal de integral quando a sequência de funções é uniformemente convergente. O último resultado provado foi a derivação termo a termo de uma sequência, mais precisamente: se uma sequência de funções (f_n) tem derivadas contínuas f'_n convergindo uniformemente para uma função g, e (f_n(c)) converge em um ponto c do domínio, então a sequência (f_n) converge para uma função f e f'=g.
  [pág. 215-223 do livro "Análise Matemática para Licenciatura" de G. Ávila]
   
•  [12/04/2022] 20ª aula: Começamos a aula definindo convergência uniforme para séries de funções e reescrevendo os resultados da aula anterior para séries de funções. Em particular que ∫∑f_n = ∑∫f_n, quando (f_n) converge uniformemente; e (∑f_n)'=∑f'_n, quando a series das derivadas converge uniformemente. A seguir enunciamos e provamos o teste M de Weierstrass e introduzimos o conceito de séries de potências, discutindo alguns exemplos como :∑xⁿ/n!, ∑nxⁿ e ∑n!xⁿ. Concluímos a aula provando o seguinte Lema: "se a série ∑a_n xⁿ converge em x₀ ≠ 0, então converge para qualquer |x|< | x₀ |, e se diverge em x₀, então diverge para todo |x|>|x₁|".
  [pág. 224-230 do livro "Análise Matemática para Licenciatura" de G. Ávila]
   
• [19/04/2022] 21ª aula: Iniciamos a aula provando o seguinte teorema: "se a série ∑a_nxⁿ converge em x₀≠0 e diverge em x₁, então existe r>0 tal que ∑a_nxⁿ converge se |x| < r e diverge se |x|>r". Na demonstração basta verificar que A={x∈R;∑a_nxⁿ converge} é limitado e tomar r=sup A. Este r>0 é chamado de "raio de convergência". Também usaremos r=∞ se a série converge em qualquer x real, e r=0 quando a série converge apenas em x=0. Mostramos que r=lim_n→∞ |a_n|/|a_n+1|, quando existe este limite, e calculamos o raio de convergência em vários exemplos. A seguir vimos que quando a série ∑a_nxⁿ tem raio de convergência r>0, esta série converge uniformemente em qualquer subintervalo compacto de (–r, r). A partir disto concluímos que a função f(x)= ∑a_nxⁿ pode ser integrada e derivada termo-a-termo, preservando o raio de convergência, e que vale a fórmula a_n=f⁽ⁿ⁾(0)/n! para os coeficientes.
  Concluímos a aula definindo as funções trigonométricas seno e cosseno. A ideia é começar supondo que existem duas funções deriváveis tais que: s'(x)=c(x), c'(x)=-s(x), s(0)=0 e c(0)=1. Daqui deduzimos que estas funções são infinitamente deriváveis, obtemos suas séries de potências, provamos a identidade fundamental s²(x)+c²(x)=1, e fórmulas de soma de arcos.
  [pág. 231-236 do livro "análise matemática para licenciatura" do g. ávila]
   
• [26/04/2022] 22ª aula: Resolução de exercícios
   
• [29/04/2022] 23ª aula: 2ª Prova
   
• [14/05/2022] Prova final
   

Verificar listas de exercícios no roteiro de estudos, que totalizam 14 horas-aula.

 

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