prof. alexandre kirilov
departamento de matemática
Fundamentos de análise - 2022
Nesta página você encontra o diario de classe, com um resumo do que foi visto nas últimas aulas e o que está previsto para as próximas.
Informações da disciplina | Roteiro de estudo | Diário de classe | Notas das provas
Diário de classe
- [07 e 09/06/22] 1ª e 2ª aulas: Os alunos foram dispensados para assistir as palestras e minicursos programados para a Semana da Matemática.
- [13/06/22] 3ª aula: Apresentação da disciplina (programa, bibliografia e critérios de avaliação).
Iniciamos o conteúdo com a construção do conjunto dos números naturais a partir dos Axiomas de peano, definimos precisamente a adição de números naturais e discutimos suas principais propriedades. A seguir definimos a multiplicação de números naturais e demonstramos suas principais propriedades.
[pag. 80 a 83 do livro do hygino]
- [15/06/22] 4ª aula: Estabelecemos a relação de ordem "menor ou igual a" no conjunto dos números naturais ℕ e apresentamos suas principais propriedades. A seguir provamos a lei da Tricotomia e o Princípio da Boa ordenação em ℕ. Finalizamos a aula demonstrando que 2 é um número primo.
[pag. 84 a 87 do livro do hygino].
- [20/06/2022] 5ª aula: Fizemos a construção formal do conjunto dos números inteiros ℤ introduzindo uma relação de equivalência no conjunto ℕ×ℕ. A seguir definimos a adição de números inteiros e demonstramos sua principais propriedades. Na sequência definimos a multiplicação de números inteiros e verificamos algumas de suas propriedades. Finalizamos a aula introduzindo as notações +n e -n para os inteiros positivos e negativos e apresentamos alguns exemplos de adições e produtos de inteiros que levaram a deduzir a regra dos sinais.
[pag. 162 a 166 do livro do hygino]
- [22/06/2022] 6ª aula: Introduzimos a relação "menor ou igual" em ℤ e verificamos que esta é uma relação de ordem total. Também mostramos que o conjunto dos números naturais está imerso no conjunto dos números inteiros, o que nos permite escrever ℕ⊂ℤ. A seguir passamos para a construção dos números racionais, introduzindo uma relação de equivalência no conjunto ℤ×ℤ*. Também definimos a adição de racionais, mostramos que a adição está bem definida e que possui as quatro propriedades básicas esperadas (associatividade, comutatividade, existência do elemento neutro e do simétrico aditivo)
[pag. 167 a 169 e 181 a 184 do livro do hygino].
- [27/06/2022] 7ª aula: Definimos a multiplicação em ℚ e mostramos que esta operação é associativa, comutativa, possui elemento neutro e inverso multiplicativo. Também verificamos que a multiplicação é distributiva em relação à adição, concluindo que o conjunto ℚ com as operações de adição e multiplicação é um corpo. A seguir definimos a relação "menor ou igual" em ℚ e verificamos que esta é uma relação de ordem total compatível com as operações de adição e multiplicação, concluindo que ℚ é um corpo ordenado. Também mostramos que ℤ está imerso em ℚ, o que nos permite escrever ℕ⊂ℤ⊂ℚ. Para finalizar mostramos que ℚ é denso e arquimediano.
[pag. 184 a 186, e 190 a 197 do livro do hygino].
- [29/06/2022] 8ª aula: Dedicamos a aula ao estudo da forma decimal dos números racionais, obtendo condições para que a representação decimal de um racional seja finita ou infinita periódica. Reciprocamente associamos a qualquer forma decimal finita ou infinita periódica um número racional. Verificamos que as representações finitas podem ser transformadas em representaçãoes infinitas periódicas e chegamos a seguinte caracterização dos racionais: um número é racional se e somente se possui uma representação decimal infinita periódica. Também negamos este resultado para garantir a existência de números não racionais (números cuja representação decimal é infinita e não periódica) e provamos a unicidade da representação dos números racionais na forma decimal infinita periódica.
[texto representa_racionais.pdf].
- [04/07/2022] 9ª aula: Revisitamos a clássica demonstração da irracionalidade de √2 e a adaptamos para mostrar que √3, √6 e outros números são irracionais. A seguir, obtivemos uma demonstração mais simples da irracionalidade de √2 usando a unicidade de decomposição em fatores primos dada pelo Teorema Fundamental da Aritmética; e adaptamos esta demonstração para provar que a raiz quadrada de um número natural é racional se e somente se este número é um quadrado perfeito. Também generalizamos este resultado para raízes k-ésimas. Concluímos a aula provando o teorema de raízes racionais de polinômios e usando-o para mostrar alguns exemplos de números irracionais.
[capítulo 4 do livro do ivan niven].
- [06/07/2022] 10ª aula: Começamos com a definição precisa de conjunto finito, contagem e número de elementos. Provamos que contagens diferentes levam ao mesmo úmero de elementos e que todo subconjunto de um conjunto finito também é finito. Concluímos a aula provando que um subconjunto de números naturais é finito se e somente se é limitado.
[capítulo 1 do livro Análise Real, vol. 1, do Elon].
- [11/07/2022] 11ª aula: Definimos conjuntos infinitos e obtivemos e caracterizamos subconjuntos infinitos de numeros naturais pelo resultado "X⊂ ℕ é infinito se e somente se X é ilimitado. A seguir provamos que se X é infinito, então existe uma função injetiva f: ℕ → X; e que X é infinito se e somente se existe uma bijeção entre X e um subconjunto próprio. Na sequência definimos conjunto enumarável e provamos que os conjuntos dos números inteiros ℤ e dos número racionais positivos ℚ+ são enumeráveis.
[capítulo 1 do livro Análise Real, vol. 1, do Elon].
- [13/07/2022] 12ª aula: Provamos que todo subconjunto de números naturais é enumerável e como consequência obtivemos os seguintes corolários: (1) se Y é enumerável f : X → Y é injetiva então X e enumerável; e (2) se X é enumerável e f: X → Y é sobrejetiva então Y é enumerável. Também provamos que o produto cartesiano de conjuntos enumeráveis é enumerável e usamos este resultado para provar que o conjunto ℚ dos números racionais é enumerável (f : ℤ × ℤ* → ℚ, f(p,q) = p/q é sobrejetiva e ℤ × ℤ* é enumerável, logo ℚ é enumerável). Terminamos a aula usando o argumento diagonal de Cantor para provar que o intervalo [0,1] não é um conjunto enumerável.
[capítulo 1 do livro Análise Real, vol. 1, do Elon].
- [18/07/2022] 13ª aula: Apresentamos a definição de corpo ordenado e discutimos algumas consequências das definições. Verificamos que em um corpo ordenado o quadrado de qualquer elemento não nulo é positivo. Em particular, 1 é positivo e portanto -1 não é quadrado de ninguém. Consequentemente, o corpo dos números complexos racionais não pode ser ordenado (pois i2=-1). Também mostramos que em qualquer corpo ordenado há uma cópia dos conjuntos ℕ, ℤ e ℚ. A seguir definimos o valor absoluto e provamos algumas de suas propriedades, tais como a desigualdade triangular e suas consequências. Concluímos a aula definindo supremo e ínfimo de conjuntos limitados e analisando alguns exemplos.
[capítulo 2 do livro Análise Real, vol. 1, do Elon].
- [20/07/2022] 14ª aula: Começamos a aula falando novamente de conjuntos limitados, supremo e ínfimo. Enfatizamos que o termo "corpo ordenado é completo" significa que todo conjunto limitado superiormente tem supremo, o que vale para o conjunto dos números reais e é conhecido como axioma da completude. A seguir provamos o teorema dos intervalos encaixados e usamos este resultado para mostrar que nenhuma função f: ℕ → ℝ pode ser sobrejetora, e portanto, o conjuntos dos números reais não é enumerável. Encerramos aqui o asunto para a primeira prova.
[capítulo 2 do livro Análise Real, vol. 1, do Elon].
- [25/07/2022] 15ª aula: Resolução de exercícios das listas.
- [27/07/2022] 16ª aula: Primeira prova
- [01/08/2022] 17ª aula: Definimos sequência de números reais e introduzimos sua notação. Falamos de sequências limitadas e não limitadas, dando vários exemplos. A seguir demos a definição precisa de limite de uma sequência (com epsilon e n) e chamamos a atenção para o seguinte fato: se "lim xn=a então apenas um número finito de elementos de (xn) pode estar fora do intervalo (a- ε, a+ε), qualquer que seja o ε>0 fixado. Provamos que o limite, quando existe, é único; e que toda sequência convergente é limitada.
[Cap. 4 do livro "Análise Matemática para Licenciatura", do G. Ávila, e cap. 3 do livro "Análise Real, vol. 1", do Elon].
- [03/08/2022] 18ª aula: Introduzimos o conceito de sequência monótona e provamos que toda sequência monótona limitada é convergente (por exemplo: se a sequência é crescente e limitada então converge para o supremo). A seguir provamos que a sequência an=(1+1/n)n é crescente e limitada, e portanto convergente. Em particular, 2 ≤ an ≤ 3, ∀n (converge para o número de Euler). A seguir introduzimos o conceito de subsequência e mostramos que se lim xn=L e (xnk) é uma subsequência de (xn), então lim xnk = L. Este resultado fornece um método para mostrar que uma sequênca não converge (apresentando duas subsequências com limites distintos).
[Cap. 4 do livro "Análise Matemática para Licenciatura", do G. Ávila, e cap. 3 do livro "Análise Real, vol. 1", do Elon].
- [08/08/2022] 19ª aula: Enunciamos e provamos o teorema de Bolzano-Weierstrass (dividindo o intervalo em subintervalos fechados e usando o teorema dos intervalos encaixados). Analisamos a relação entre limites e desigualdades (teorema: se lim xn = L e a< L <b então a<xn <b, para n grande) e obtivemos o teorema da permanência do sinal como corolário. Provamos as regras operacionais com limites (adição e produto de sequências, além da divisão de sequências quando o limite do denominador é diferente de zero). Cocluímos a aula mostrando que lim a1/n=1, para todo a >0 e lim n1/n=1
[Cap. 4 do livro "Análise Matemática para Licenciatura", do G. Ávila, e cap. 3 do livro "Análise Real, vol. 1", do Elon].
- [10/08/2022] 20ª aula: Definimos sequências de Cauchy, mostramos que toda sequência convergente é de Cauchy; que toda sequência de Cauchy é limitada e, finalmente, que toda sequência de Cauchy é convergente. Como aplicação desenvolvemos o método das aproximações sucessivas, ou seja, |xn+2 - xn+1| ≤ λ|xn+1 - xn|, para algum λ ∈[0,1), então (xn) é convergente. A seguir usamos este método para calcular aproximações da raiz quadrada (através da sequência recorrente xn+1=(xn+a/xn)/2) .
[Cap. 3 do livro "Análise Real, vol. 1", do Elon].
- [15/08/2022] 21ª aula: Definimos precisamente o significado de limxn = ±∞ e provamos alguns resultados com limites infinitos. Discutimos os sete casos de indeterminação (∞-∞, ∞/∞, ∞0, 0/0, 0.∞, 00 e 1∞). Falamos sobre ordem de grandeza e que para n grande vale nk << an << n! << nn, com k natural e a>1. Concluímos a aula provando o seguinte resultado: se xn>0 e lim xn+1 / xn= c < 1 então lim xn = 0.
[Cap. 3 do livro "Análise Real, vol. 1", do Elon].
- [17/08/2022] 22ª aula: Começamos analisando exemplos conhecidos de séries, como espansões decimais que geram dízimas periódicas e a soma dos termos de uma progressão geomética de razão menor que 1. A seguir definimos convergência de somas infinitas a partir a convergência de somas parciais. Provamos que o termo geral de uma série convergente tende a zero. Analisamos a convergência da série geométrica (com razão r>0). Provamos que a série harmônica diverge e que a série ∑1/np converge quando p> 1. Finalmente provamos o teste da razão e aplicamos no exemplo ∑ 1/n! <∞.
[Cap. 5 do livro "Análise Matemática para Licenciatura", do G. Ávila].
- [22/08/2022] 23ª aula: Aplicamos o teste da comparação em exemplos da forma ∑ p(n)/q(n) (quociente de polinômios) analisando a velocidade com que este quociente tende a zero para decidir se a série converge ou diverge. A seguir enunciamos e provamos os testes da razão e da raiz. Finalizamos a aula aplicando estes testes em alguns exemplos como ∑ an/n! <∞ (quando a>1), ∑ n!/nn <∞ e ∑ (logn/n)n <∞.
[Cap. 5 do livro "Análise Matemática para Licenciatura", do G. Ávila].
- [24-29/08/2022] 24ª/25ª aula: Mostramos que se (an) é uma sequência monótona não crescente que tende a zero, então a série ∑ (-1)n+1 an é convergente. Definimos série absolutamente convergente e condicionalmente convergente e demos vários exemplos. Provamos que toda série absolutamente convergente é convergente e apresentamos alguns exemplos relevantes. Também provamos que o número de Euler e=∑ 1/n! é irracional.
[Cap. 5 do livro "Análise Matemática para Licenciatura", do G. Ávila].
- [31/08/2022] 26ª aula: Exemplos relevantes, esclarecimentos de dúvidas e resolução de exercícios das listas e provas de anos anteriores.
- [05/09/2022] 27ª aula: Não houve aula. O professor esteve a disposição para esclarecer dúvidas e auxiliar na resolução de exercícios das listas e provas de anos anteriores.
- [12/09/2022] 28ª aula: Resolução de exercícios.
- [14/09/2022] 29ª aula: Segunda prova
- [21/09/2022] Exame final: Exame final da disciplina