Prof. Alexandre Kirilov

Departamento de Matemática

Diário de classe e programação das próximas aulas

Nesta página você encontra o diario de classe e a programação das aulas da disciplina.
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Diário de classe

[31/07/2018] 1ª aula: apresentação da disciplina (programa, bibliografia e critérios de avaliação). inicio do conteúdo: revisão sobre funções incluindo: definição, domínio e imagem de uma função, imagem direta e imagem inversa de um conjunto por uma função. Funções injetores, sobrejetoras, bijetoras e inversa de uma função. Composição de funções. Funções limitadas.
[pág. 133 a 140 do livro "análise matemática para licenciatura", do g. ávila]
[02/08/2018] 2ª aula: definição e exemplos de ponto interior, interior de um conjunto e conjunto aberto. união e interseção de conjuntos abertos. definição e exemplos de ponto aderente, fecho de um conjunto e conjunto fechado. um conjunto é aberto se e somente se seu o Complementar é um conjunto fechado.
[pág. 49 a 51 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[07/08/2018] 3ª aula: união e interseção de conjuntos fechados. o supremos e o ínfimo de conjuntos limitados pertencem ao fecho deste conjunto. pontos de acumulação. conjuntos discretos. diferentes caracterizações para um ponto de acumulação.
[pág. 51 a 54 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[09/0820/18] 4ª aula: conjuntos compactos e sua caracterização via sequências. conjunto de cantor: construção passo a passo e verificação das principais propriedades: tem interior vazio, é fechado, todos os seus pontos são de acumulação, é infinito e não-enumerável. (obs. neste momento podemos evitar os assuntos cisão/conexidade e a caracterização de conjuntos compactos por coberturas abertas)
[pág. 54 a 59 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[14/08/2018] 5ª aula: definições de limite e de continuidade. teorema da permanência do sinal. Propriedades aritméticas do limite. caracterização da continuidade por sequências.
[pág. 142 a 146 do livro "análise matemática para licenciatura", do g. ávila]
[16/08/2018] 6ª aula: continuidade da função composta. definição de limite lateral e continuidade lateral (a esquerda e a direita). Funções monótonas limitadas têm limites laterais. limites infinitos e limites no infinito. expressões indeterminadas.
[pág. 150 a 154 do livro "análise matemática para licenciatura", do g. ávila]
[21/08/2018] 7ª aula: descontinuidades de uma função: descontinuidade removível, descontinuidades do tipo salto (1ª espécie) e continuidade lateral, descontinuidades com limites laterais tendendo ao infinito (2ª espécie). As descontinuidades de uma função monótona são sempre do tipo salto e o conjunto dos pontos de descontinuidade de uma função monótona é no máximo enumerável.
[pág. 155 a 160 do livro "análise matemática para licenciatura", do g. ávila]
[23/08/2016] 8ª aula: resolução de exercícios.
[28/08/2018] 9ª aula: 1ª Prova
[30/08/2018] 10ª aula: teorema do valor intermediário e algumas aplicações: todo polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real; existência e unicidade da raiz n-ésima positiva; teorema do ponto fixo de Brower. a imagem de um conjunto compacto por uma função contínua é um conjunto compacto, toda função contínua definida em um conjunto compacto assume máximo e mínimo.
[pág. 161 a 165 do livro "análise matemática para licenciatura", do g. ávila]
[04/09/2018] 11ª aula: a derivada de uma função em um ponto, a função derivada, funções de classe C^k e de classe C^∞. exemplos de funções deriváveis (polinomiais) e regra de L'Hôpital. regras operacionais (soma, produto por escalar, regra de Leibniz e derivada do quociente). regra da cadeia.
[pág. 90 a 93 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[06/09/2018] 12ª aula: derivada da função inversa. relação da derivada e com o comportamento local da função e pontos críticos. teorema de Darboux.
[pág. 93 a 95 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[11/09/2018] 13ª aula: derivadas em pontos de máximo e de mínimo, pontos críticos, Teorema de Rolle, teorema do valor médio e algumas aplicações (derivada nula em um intervalo implica n a função ser constante, derivada limitada implica na função ser lipschitziana)
[pág. 95 e 99 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[13/09/2018] 14ª aula: começamos a aula apresentando o conceitos de contração e provamos o teorema do ponto fixo das contrações. Como aplicação deste teorema apresentamos o método das aproximações sucessivas. também apresentamos o método de Newton para o cálculo aproximado de raízes e fizemos alguns exemplos.
[pág. 114 a 117 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[18/09/2018] 15ª aula: Dedicamos esta aula a uma revisão cuidadosa dos conceitos de supremo e ínfimo de conjuntos. A seguir falamos de supremos e ínfimo de funções e apresentando suas principais propriedades. Estes conceitos são fundamentais para definir precisamente a integral de Riemann.
[pág. 121 a 123 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[20/09/2018] 16ª aula: Definimos partição de um intervalo [a,b] e refinamento de partição. Definimos somas inferiores e superiores, mostramos que quando se refina uma partição as somas superiores não aumentam e as somas inferiores não diminuem. Definimos a ntegral inferior e superior. Definimos função Riemann integrável (quando as integrais superior e inferior coincidem) e apresentamos condições para integrabilidade (f é integrável ↔ dado ε>0, existe particão P de [a,b], tal que ∑ ω_i (t_i-t_i-1) < ε.
[pág. 123 a 126 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[25/09/2018] 17ª aula: provamos que uma função f é integrável em no intervalo [a,b] ↔ para todo c ∈(a,b) as restrições de f aos intervalos [a,c] e [c,b] são integráveis. Também mostramos que a integral é linear, ou seja, que ∫f+g = ∫f + ∫g e que ∫c f = c ∫f.
[pág. 127 e 128 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[27/09/2018] 18ª aula: Mostramos que se f ≥ 0 então ∫ f ≥ 0; se f é integrável então |f| é integrável e satisfaz |∫f| ≤ ∫|f|. Apresentamos a definição de continuidade uniforme e demos vários exemplos. Provamos o teorema de Heine (toda função contínua sobre um compacto é uiformemente contínua). Na sequência provamos que toda função contínua definida em um compacto é integrável (a prova usa a continuidade uniforme de f para mostrar que S(f;P) - s(f;P) < ε ).
[pág. 129 a 131 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[02/10/2018] SIEPE - não tivemos aula (conforme determinação do calendário escolar da UFPR - Resolução 30/17 CEPE, disponível no endereço www.ufpr.br/soc)
[04/10/2018] SIEPE - não tivemos aula (conforme determinação do calendário escolar da UFPR - Resolução 30/17 CEPE, disponível no endereço www.ufpr.br/soc)
[09/10/2018] 19ª aula: resolução de exercícios
[11/10/2018] 20ª aula: 2ª Prova
[16/10/2018] 21ª aula: Demonstramos o Teorema Fundamental do Cálculo (supondo que o integrando é uma função contínua), a fórmula de mudança de variáveis na integral (supondo apenas que a composta está bem definida) e a fórmula de integração por partes (consequência da fórmula de derivação do produto e teorema fundamental do cálculo). A seguir provamos a fórmula do valor médio para integrais, a qual será usada na demonstração da fórmula de Taylor com resto de Lagrange na próxima aula.
[pág. 137 e 139 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[18/10/2018] 22ª aula: demonstramos a validade da fórmula de taylor com resto integral (usando integração por partes e indução) e obtivemos o resto de Lagrange (aplicando a fórmula do valor médio para integrais). Na sequência definimos o logaritmo como a integral da função 1/t e provamos suas principais propriedades: 1) log é crescente; 2) log é infinitamente diferenciável; 3) log é positiva no intervalo x>1; 4) log é negativa no intervalo (0,1); 5) log xy =log x +log y; 6) log x^s = s log x, para s racional; 7) log é sobrejetiva; 8) pelo TVI, log satisfaz a propriedade 6 para todo s real; 9) log é bijetiva, portanto tem inversa, que será a exponencial.
[pág. 140, 141, 143 e 144 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[23/10/2018] 23ª aula: a função exponencial (como inversa do logaritmo) é bijetiva, crescente e infinitamente diferenciável, com (exp x)'=exp x. A seguir provamos que: exp(x+y)=(exp x)(exp y) e denotando e=exp(1), mostramos que exp(x) = e^x, para todo x real. Provamos que lim_x→∞ log(x)/x =0 e que lim_x→∞ x^k/e^x =0, ou seja, log(x) tende ao infinito muito mais devagar que x e a exponencial tende ao infinito muito mais rapidamente que qualquer polinômio. Na sequência definimos potências com base a>0 por a^x = e^{x log(a)} e o logaritmo de base a>0 por log_a(x)=y ↔ a^y=x. Provamos as propriedades de exponencial e logarítmo e concluímos a aula provando que o número e tal que log(e)=1 é o número de Euler, ou seja, que lim_n→∞ (1+1/n)ⁿ = e.
[pág. 144 a 147 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[25/10/2018] 24ª aula: abordamos os dois tipos de integrais impróprias: 1) integral de funções não-limitadas definidas em intervalos limitados; e 2) integral de funções definidas em intervalos não limitados. Assumindo que o integrando é uma função contínua, a primitiva estará bem definida em subintervalos e a integral será dada por um limite conveniente. Após estudar alguns exemplos significativos que aparecem no livro, estabelecemos o critério de comparação para integrais impróprias. A seguir falamos de integrais absolutamente convergentes, parte positiva e negativa de uma função, estudamos a função gama e o critério da integral para convergência de séries numéricas.
[pág. 147 a 151 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[30/10/2018] 25ª aula: começamos apresentando a definição e exemplos de convergência simples e convergência uniforme de sequências de funções. O primeiro resultado provado foi que o limite uniforme de uma sequência de funções contínuas é uma função contínua. A seguir provamos que o limite pode comutar com o sinal de integral quando a sequência de funções é uniformemente convergente. o último resultado provado foi a derivação termo a termo de uma sequência, mais precisamente: se uma sequência de funções (f_n) de classe C¹ converge em um ponto do domínio e a sequência de derivadas (f'_n) converge uniformemente então g então existe uma função f que é o limite uniforme de (f_n) e f'=g.
[pág. 156 a 162 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[01/11/2018] 26ª aula: começamos a aula reescrevendo todos os resultados da aula aunterio para séries de funções, lembrando que uma série de funções pode ser vista como uma sequência de comas parciais. a seguir enunciamos e provamos o teste M de Weierstrass. introduzimos o conceito de séries de potências, demos vários exemplos e chegamos ao raio de convergência. Mostramos que o conjunto no qual uma série de potências ∑a_nxⁿ converge é um intervalo centrado na origem de raio R=1/L, sendo L = lim_n→∞ |a_n|^1/n ou L = lim_n→∞ |a_n+1|/|a_n|, caso um destes limites exista.
[pág. 163 a 165 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[06/11/2018] realização da J3M- não teremos aula
[08/11/2018] realização da J3M- não teremos aula
[13/11/2018] 27ª aula: começamos a aula provando que uma série de potências de raio r>0 converge uniformemente em cada subintervalo fechado [-ρ,ρ]⊂(-r,r). A prova é uma aplicação simples do teste M de Weierstass. Como corolário provamos que a função definida por uma série de potências é contínua e pode ser derivada e integrada termo-a-termo, preservando o raio de convergência. Também provamos a unicidade de representação em séries de potências. Pra finalizar definimos as funções trigonométricas seno e cosseno a partir de suas séries de potências e provamos algumas propriedades, como: raio de convergência infinito, derivadas e relação fundamental (sen²(x)+cos²(x)=1).
[pág. 166 a 168 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[15/11/2018] Feriado.
[20/11/2018] 28ª aula: começamos a aula provando as fórmulas de adição para seno e cosseno e que estas funções são periódicas de período 2π. A seguir falamos de séries de Taylor e passamos a calcular as séries de Taylor das funções exponencial, 1/(1-x), 1/(1+x), 1/(1+x²) e log(1+x).
[pág. 168 até o fim do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[22/11/2018] 29ª aula: resolução de exercícios
[27/11/2018] 30ª aula - 3ª Prova.

programação das próximas aulas

A programação abaixo está sujeita a pequenas alterações, com excessão das datas de provas.

[11/12/2018] Prova final

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