prof. alexandre kirilov

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Diário de Classe - Fundamentos de análise - 2019

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Nesta página você encontra o diario de classe com o resumo das aulas dadas e o planejamento da disciplina para o semestre todo.

 

Diário de classe

• [19/02/19] 1ª aula: Apresentação da disciplina (programa, bibliografia e critérios de avaliação).
  Iniciamos o conteúdo com a construção do conjunto dos números naturais a partir dos Axiomas de Peano, definimos precisamente a adição de números naturais ( a+0=a e a+b⁺ = (a+b)⁺ ) e provamos que 1+1=2 e que b⁺ = b+1. A seguir enunciamos e provamos as principais propriedades da adicao: associativa, comutativa, elemento neutro e cancelamento. Finalizamos a aula definindo a multiplicação de números naturais (a×0=0 e a×b⁺ = a×b+a), provando que 2×2=4 e enunciando as principais propriedades da multiplicação.
  [pag. 80 a 83 do livro do hygino].
   
• [21/02/19] 2ª aula: Começamos a aula provando que 0×a=0 e 1×a=a. Com este resultado pudemos provar a distributividade da multilicacao em relacao a adicao e depois a comutatividade da multiplicação. A demais propriedades da multiplicação ficaram como exercícios. A seguir definimos a relação de ordem "menor ou igual" no conjunto dos números naturais e apresentamos suas principais propriedades (reflexividade, antissimetria, transitividade, que é uma ordem total, compatibilidade da relação de ordem com a adição e a multiplicação e o princípio da boa ordenação. Provamos que a ordem "menor ou igual é total" e a lei da tricotomia. Encerramos a aula mostrando que se a×b = 0 então a=0 ou b=0.
  [pag. 83 a 87 do livro do hygino].
   
• [26/02/19] Não tivemos aula neste dia (o professor estava participando do XII Simpósio de Equações Diferenciais da UFPR).
   
• [28/02/19] 3ª aula: Começamos a aula demonstrando o algoritmo da divisão de Euclides (com muito mais detalhes do que aparece no livro do Hygino). A seguir falamos do sistema de representação posicional (todo número pode ser visto como "um polinômio" no qual os coeficientes são os algarismos da base decimal), e também falamos de representação em outros sistemas posicionais (binário, hexadecimal e outras bases). Enunciamos e provamos o teorema de representação para o sistema de numeração posicional, com base b>1, e discutimos métodos para mudança de base (divisões sucessivas). Também discutimos as quatro operações aritméticas em sistemas de bases diferentes de 10 e construímos tabuadas de adicão e multiplicação em outras bases.
  [pag. 31 a 43 do livro do hygino].
   
• [05/03/19] Semana do Carnaval - Feriado nacional
   
• [07/03/19] Semana do Carnaval - não tivemos aula
   
• [12/03/19] 4ª aula: Começamos a aula construindo o conjunto dos números inteiros como o quociente ℤ = ℕ×ℕ/~ pela relação de equivalência (a,b)~(c,d) ↔ a+d=b+c. Verificamos que se a≤b entao (a,b)~(a-b,0); e se a≥b entao (a,b)~(0,b-a). Logo toda classe de equivalência (a,b)/~ é da forma (c,0)/~ ou da forma (0,c)/~, para algum c∈ℕ. Finalmente denotamos +c = (c,0)/~ e −c=(0,c)/~. A seguir definimos a adição: (a,b)/~+(c,d)/~=(a+c,b+d)/~ e verificamos que o oposto de m=(a,b)/~ é −m=(b,a)/~. Definimos a multiplicação: (a,b)/~ x (c,d)/~ = (ac+bd,ad+bc)/~. Mostramos que (−1)m=-m, provamos as regras de sinais, e as propriedades da multiplicação. Introduziremos uma relação de ordem em ℤ e analisamos suas principais propriedades. Terminamos a aula mostrando que a função a∈ℕ ↦ (a,0)/~ é uma imersão de ℕ em ℤ, ou seja, f é injetiva, f respeita as operações de adição e multiplicação, f é compatível com a relação de ordem e Im(f)=ℤ₊.
  [pag. 162 a 169 do livro do hygino]
   
• [13/03/19] 5ª aula: Iniciamos a aula apresentando a construção do conjunto dos números racionais como sendo o quociente ℚ = ℤ×ℤ*/~ pela relação de equivalência (a,b)~(c,d) ↔ a.d=b.c. Denotamos as classe de equivalência por p/q = (p,q)/~={(m,n); (m,n)~(p,q)}. A seguir definimos a adição por m/n+r/s = ms/ns + nr/ns = (ms+nr)/ns, verificamos que esta operação está bem definida, é comutatica, associativa, tem elemento neutro (denotado 0/1) e que o elemento oposto de do racional não nulo m/n é (−m)/n∈ℚ. Na sequência definimos a multiplicação: m/n . r/s = mr/ns e citamos sua principais propriedades (deixadas como exercício). Introduziremos uma relação de ordem em ℚ da seguinte forma. Dados a,b∈ℚ, escreva a=m/n e b=r/s com n>0 e s>0. Então a≤b ↔ m/n ≤ r/s ↔ m≤r.
  [cap. IV do livro do hygino].
   
• [14/03/19] 6ª aula: Nesta aula nosso objetivo foi responder as seguintes questões: 1)Por que representação decimal de um número racional é sempre finita ou infinita periódica? 2) É possível prever se a representação decimal de um número racional será finita ou infinita periódica olhando apenas para a fração? (antes de iniciar o processo de divisão) 3) Dada uma representação decimal qualquer, é sempre possível obter sua forma fracionária? Respondemos a todas estas perguntas primeiro fazendo com exemplos motivadores e na sequência enunciando proposições e teoremas, conforme o texto representa_racionais.pdf disponível para download no link roteiro acima.
   
• [19/03/19] 7ª aula: Continuamos a responder perguntas a respeito da representação decimas: 4) A representação decimal de um racional é única? 5) O que podemos dizer a respeito das representações decimais infinitas não periódicas? Obtivemos o seguinte teorema que caracteriza completamente os racionais. "Um número é racional se e somente se admite uma representação decimal infinita periódica". Fazendo a negação lógica desse resultado obtivemos a caracterização dos números não racionais: "Um número é irracional se e somente se sua representação decimal é infinita não periódica". Discutimos várias consequências desta definição.
  [segunda parte do texto representa_racionais.pdf].
   
• [21/03/19] 8ª aula: Iniciamos a aula revisitando a clássica demonstração da irracionalidade de √2 e escrevendo uma prova mais curta, baseada na unicidade de decomposição em fatores primos. A seguir observamos que esta prova pode ser adaptada para demonstrar que a raiz quadrada de um número natural é racional se e somente se este número é um quadrado perfeito. Também adaptamos a demonstração para mostrar que a p-ésima de um número natural é racional se e somente se este número é da forma a^p, com a natural. No final da aula revimos o teorema de raízes racionais de polinômios (um racional a/b irredutível é raiz de um polinômio c₀+c₁x+c₂x²+...+c_nxⁿ se e somente se a|c₀ e b|c_n) e como usá-lo para determinar se um um número é irracional.
  [seção 4.3 do livro do Ivan Niven]
  
  
•  [26/03/19] 9ª aula: Chamando I_n={1,2,3,...,n}, começamos a aula dizendo que X é um conjunto finito se X for vazio ou se, para algum n, existe é uma bijeção φ:I_n → X. Quando X é finito chamamos esta bijeção de contagem e o número n de número de elementos de X (card(X) = n). Para que a noção de número de elementos não seja ambígua, mostramos que dadas duas contagens φ:I_n → X e ψ:I_m → X, temos m=n. A seguir provamos que todo subconjunto de um conjunto finito também é finito, e que não existe bijeção entre um conjunto finito e um subconjunnto próprio. Concluímos a aula mostrando que, dado X ⊂ ℕ tem-se: X é finito ↔ X é limitado ↔ X tem um maior elemento.
  [pag. 4, 5 e 6 do livro Análise Real, vol.1, do Elon Lajes Lima]
   
•  [28/03/19] 10ª aula: Iniciamos a aula com a definição e exemplos de conjuntos infinitos, tomando a contrapositiva de resultados enunciados para conjuntos finitos. A seguir definimos conjuntos enumeráveis e usando o axioma da escolha para provar que todo conjunto infinito possui um subconjunto infinito enumerável. Como corolário deste resultado provamos que um conjunto é infinito se e somente se existe uma bijeção entre um conjunto e um subconjunto próprio. Na sequência provamos que todo subconjunto X ⊂ ℕ é enumerável; que todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável; e que se φ:Y→X é injetiva e X é enumerável então Y é enumerável.
  [pag. 6, 7 e 8 do livro Análise Real, vol.1, do Elon Lajes Lima]
   
• [02/04/19] 11ª aula: Provamos que se Α é um conjunto enumerável e f : Α → Β e sobrejetiva então Β é um conjunto enumerável. Usamos este resultado para mostrar que o produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável e que o conjunto dos racionais é enumerável (como f : ℤ × ℤ -{0} → ℚ, f(p,q) = p/q e sobrejetiva e ℤ × ℤ -{0} e enumeravel então é ℚ enumerável). Finalmente provamos que o intervalo (0,1] é não enumerável. A prova deste último resultado é feita por absurdo usando o argumento diagonal de Cantor.
  [pag. 8 e 9 do livro Análise Real, vol.1, do Elon Lajes Lima]
   
• [04/04/19] 12ª aula: Resolução de exercícios. Os principais foram: Dado X finito e Y infinito, construir funções f : X →Y injetora e g: Y →X sobrejetora. Mostrar que o conjunto dos números primos é infinito. Provar por indução que se X tem n elementos então o conjuntos P(X) das partes de X tem 2ⁿ elementos. Decompor ℕ como uma reunião finita de conjuntos infinitos e disjuntos. Decompor ℕ como uma reunião infinita de conjuntos infinitos e disjuntos.
   
• [09/04/19] 13ª aula: Discussão e ideias para a resolução de exercícios e esclarecimento de dúvidas para prova.
   
• [11/04/19] 14ª aula: cancelada por determinação do Conselho Setorial de Ciências Exatas
   
• [16/04/19] 15ª aula: apresentamos a definição de corpo e discutimos várias de suas consequências. Como exemplo analisamos os corpos dos números racionais, corpos finitos, corpo dos numeros complexos racionais e corpo das funções racionais com coeficientes racionais. A seguir apresentamos a definição de corpo ordenado, verificamos que o corpo dos racionais é ordenado. Verificamos que o corpo dos números complexos racionais não pode ser ordenado, pois i²=-1 (em um corpo ordenado o quadrado de qualquer elemento não nulo é positivo) e nenhum corpo finito pode ser ordenado (pois em um corpo odenado 1+1+⋅⋅⋅+1 ≠0).
  [pág. 61 a 67 da 14ª edição do livro "Curso de Análise, vol.1" de Elon Lajes Lima - início do cap. 3]
   
• [18/04/19] 16ª aula: primeira prova.
   
• [23/04/19] 17ª aula: Começamos a aula provando que em todo corpo ordenado há uma cópia dos números naturais, dos inteiros e dos racionais. Assim o corpo dos racionais é o menor corpo ordenado que existe (no sentido que qualquer outro corpo ordenado contém uma cópia dos racionais). Defnimos intervalos em um corpo ordenado e valor absoluto. Provamos várias propriedades do valor absoluto, como a desigualdade triangular e suas consequências.
  [pág. 68 a 74 da 14ª ed. do "Curso de Análise, vol.1" de Elon Lajes Lima]
   
• [25/04/19] 18ª aula: Definimos conjuntos limitados (inferiormente e superiormente) em um corpo ordenado. Definimos ínfimo e supremo de um conjunto e discutimos vários exemplos: o principal exemplo mostra que o conjunto {x racional; 0<x²<2} é limitado inferiormente e superiormente.porém não tem supremo nos racionais Isso mostra que o corpo dos racionais não é "completo". Dizer que um corpo ordenado é completo significa que todo conjunto limitado superiormente tem supremo. Introduzimos o axioma fundamental da Análise Matemática: "Existe um corpo ordenado completo, chamado de corpo dos números reais". Definimos conjuntos densos e provamos que o conjunto dos racionais é denso no corpo dos reais
  [pág. 76 a 81 e pág. 84 e 85 da 14ª ed. do "Curso de Análise, vol.1" de Elon Lajes Lima]
   
• [30/04/19] 19ª aula: Definimos sequência de números reais, introduzimos as notações usuais (a_n) e (a₁,a₂,a₃,...,a_n,...) e demos exemplos. A seguir falamos de sequências limitadas e fizemos exemplos. Definimos sequência convergente (com ε e n₀) e aplicamos a definição a dois exemplos de sequências convergentes: a_n=n/(n+1), que converge para 1; e b_n=3n/(4n+sen(2n)), que converge para 3/4. A seguir observamos que: se "lim a_n=L então apenas um número finito de elementos de (a_n) pode estar fora do intervalo (L-ε,L+ε), qualquer que seja o ε>0 fixado. A partir dessa observação provamos que toda sequência convergente é limitada. Concluímos a aula mostrando que o limite de uma sequência, quando existe, é único.
  [pág. 45 a 50 da 1ª ed. do "Análise Matemática para Licenciatura" de Geraldo Ávila]
   
• [02/05/19] 20ª aula: Começamos a aula analisando a relação entre limites e desigualdades (se lim a_n=L e A<L<B então A<a_n<B, para n grande) e obtivemos o teorema da permanência do sinal como corolário. Provamos as regras operacionais com limites: adição e produto por escalar; produto de sequências; e divisão (quando o limite do denominador é diferente de zero). Definimos sequências monótonas e provamos que toda sequência monótona limitada é convergente (por exemplo: se a sequência é crescente converge para o supremo). Concluímos a aula mostrando que a sequência a_n=(1+1/n)ⁿ é estritamente crescente e limitada, portanto convergente. Definimos lim a_n = e (número de Euler).
  [pág. 51 a 58 da 1ª ed. do "Análise Matemática para Licenciatura" de Geraldo Ávila]
   
• [07/05/19] 21ª aula: Definimos subsequências e provamos que em uma sequência convergente todas as subsequências convergem e tem o mesmo limite (método para mostrar que uma sequênca não converge: apresentando duas subsequências com limites distintos). Enunciamos e provamos o teorema de Bolzano-Weierstrass (prova dividindo o intervalo em subintervalos fechados e usando o teorema dos intervalos encaixados).
  [pág. 65 a 70 da 1ª ed. do "Análise Matemática para Licenciatura" de Geraldo Ávila]
   
• [09/05/19] 22ª aula: Definimos sequências de Cauchy e mostramos que toda sequência convergente é de Cauchy. A seguir provamos que: 1) toda sequência de Cauchy é limitada e 2) se uma sequência de Cauchy tem uma subsequência convergente com limite L, então a sequência toda converge é convergente e converge para L. Finalmente mostramos que (a_n) converge se e somente se (a_n) é de Cauchy. A seguir falamos do método das aproximações sucessivas: se |x_n+2 - x_n+1| ≤ λ|x_n+1 - x_n|, para algum λ ∈[0,1), então (x_n) é de Cauchy, portanto convergente. Concluímos a aula aplicando este método na sequência definida por recorrência: x₁=2^1/2 e x_n+1= (2+x_n)^1/2.
  [pág. 125 a 127 da 14ª ed. do "Curso de Análise, vol.1" de Elon L. Lima - seção IV.5 Seq. de Cauchy]
   
• [14/05/19] 23ª aula: Começamos a aula falando de limites no infinito definindo precisamente o significado das expressões lim x_n=+∞ e lim x_n=–∞, e apresentando vários exemplos para ilustrar as definições. A seguir demonstramos alguns resultados envolvendo operações com limites infinitos. A seguir falamos sobre ordem de grandeza, ou seja, que para n grande temos n^k << aⁿ << n! << nⁿ, sendo k natural e a>1. Para isso provamos o seguinte resultado: se x_n>0 e lim x_n+1 / x_n= a < 1 então lim x_n = 0. Finalizamos a aula discutindo os sete casos de indeterminações (0/0, 0.∞, ∞-∞, ∞/∞, 1^∞, ∞⁰ e 0⁰).
  [pág. 129 a 133 da 14ª ed. do "Curso de Análise, vol.1" de Elon L. Lima - seção IV.6 Limites Infini]
   
• [16/05/19] 24ª aula: Iniciamos a aula analisando o método de aproximações da raiz quadrada definido pela sequência recorrente: x₁=b e x_n+1=(x_n+a/x_n)/2, sendo a>0 fixado e b>√a. Calculamos os primeiros cinco termos da aproximação de √2, mostrando que o algoritmo iniciado com x₁=2 leva ao termo x₅ que possui mais de 10 casas decimais corretas. A seguir provamos que esta sequência é decrescente e limitada, portanto convergente, com limite igual a √a. A seguir analisamos a sequência recorrente: x₁=1 e x_n+1= 1/(1+x_n). Calculando os primeiros termos e constatamos que a subsequência dos termos pares é crescente e dos termos ímpares é decrescente. Deixei como exercício provar que 1/2 ≤ x₂< x₄< ... <x_2n< ... < x_2n+1< ... < x₃≤ 2/3. Aplicando o método das aproximações sucessivas provamos que |x_n+1– x_n| ≤ 4/9 |x_n– x_n-1|, portanto (x_n) é convergente. Chamando L=lim x_n e aplicando o limite na expressão x_n+1= 1/(1+x_n) concluímos que L= (√5-1)/2 (número de ouro). Concluímos a aula discutindo algus exercícios envolvendo limites.
   
• [21/05/19] 25ª aula: Discussão e ideias para a resolução de exercícios e esclarecimento de dúvidas para prova.
   
• [23/05/19] 26ª aula: segunda prova
   
• [28/05/19] 27ª aula: Começamos a aula discutindo como definir uma soma infinita, tendo em vista a série de Grandi. Definimos que uma série Σa_n converge se a sequência de somas parciais (S_n) converge. Se S=lim S_n definimos a soma da série Σa_n=S. A seguir mostramos que o termo geral de uma série convergente tende a zero, analisamos a convergência da série geométrica (Σqⁿ converge se e somente se |q|< 1). Provamos que a série harmônica Σ1/n diverge (formalizando o argumento de Nicole Oresme). Apresentamos o critério de convergência de Cauchy para séries. Analisamos a convergência de séries de termos não negativos e demonstramos o critério da comparação. Finalizamos a aula discutindo exemplos de séries convergentes e divergentes através do critério da comparação.
  [pág. 75 a 82 da 1ª ed. do "Análise Matemática para Licenciatura" de Geraldo Ávila]
   
• [30/05/19] 28ª aula: Iniciamos a aula demonstração que o número e = ∑ 1/n! é irracional. Para isso obtivemos uma estimativa para o resto da série: R_n=1/n!n. Assim S_n<e<S_n+1/n!n. Supondo que e=m/n e multiplicando a desigualdade anterior por n! obtivemos n!S_n<(n-1)!m<n!S_n+1/n<n!S_n+1. Como n!S_n é natural e o natural (n-1)!m está entre os naturais n!S_n e n!S_n+1, chega-se a uma contradição. A seguir provamos que a série ∑ 1/n^p converge quando p>1 e diverge quando p≤1. A seguir apresentamos alguns exemplos de séries com termos gerais dados por quocientes de polinômios para analisar a convergência (via critério da comparação). Concluímos a aula apresentando o testes da razão e fazendo alguns exemplos.
   
• [04/06/19] 29ª aula: Iniciamos a aula apresentando o teste da da raiz e fazendo um exemplo. A seguir provamos que a série Σ(-1)ⁿ⁺¹1/n converge. Para isto provamos que a subsequência das somas parciais de ordem par (S_2n) são crescentes, a de somas parciais de ordem ímpar (S_2n+1) são decrescentes e S_2n+1 - S_2n = 1/(2n+1) tende a zero, logo (S_n) converge, e portanto a série Σ(-1)ⁿ⁺¹1/n converge. Definimos convergência condicional e provamos o critério de convergência de Leibniz (se (a_n) é uma sequência decrescente de termos positivos com lim a_n=0, então Σ(-1)ⁿ⁺¹a_n converge. A seguir definimos convergência absoluta (Σa_n converge absolutamente se Σ|a_n| converge) e provamos que toda série absolutamente convergente é convergente. Concluímos a aula provando o teorema de Riemann (os termos de uma série absolutamente convergente podem ser reordenados de modo a convergir para qualquer valor real prefixado).
   
• [06/05/19] 30ª aula: Atividades da semana da Matemática. a frequência a aula será substituída pela frequência às atividades deste dia na Semana da Matemática, conforme ofício nº 61/2019-CMAT enviado pela Coordenação do Curso no dia 07/05/2019.
   
• [11/05/19] 31ª aula: Discussão e ideias para a resolução de exercícios e esclarecimento de dúvidas para prova.
   
• [13/06/19] 32ª aula: terceira prova (turma da noite)
                 Importante: A turma da tarde fará prova no dia 18/jun.
  

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