Prof. Alexandre Kirilov

Departamento de Matemática

 

Fundamentos de Análise - 2023

Nesta página você encontra as listas de exercícios, calendário das provas e demais informações sobre a disciplina.

Informações da disciplina | Roteiro de estudo | Diário de classe | Notas das provas

 

Novidades

  • [07/12] Resultado final da disciplina
    As notas finais e número de faltas foram lançadas no SIGA.

Informações:

identificação: CMM062 - Fundamentos de Análise
turmas: MAT3 (diurno)
MAT4 (noturno)
Aulas: Diurno: segundas e quartas às 13h30
Noturno: segundas às 19h e quartas às 21h
Sala: PA06 (diurno) e PA05(noturno)
Início: 24 de julho de 2023
Término: 29 de novembro de 2023
Carga Horária: 60 horas (4 horas semanais)
Ementa Construção dos conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais. Corpos ordenados. Supremo e ínfimo. O corpo ordenado completo do números reais. Sequências e séries de números reais.
   

Programa

  1. Números Naturais. Construção do conjunto dos números naturais a partir dos axiomas de Peano. Método da indução matemática. Definição da adição e multiplicação de naturais e suas principais propriedades. Princípio da boa ordenação. Algoritmo de Euclides.
     
  2. Números inteiros. Construção formal dos conjuntos dos números inteiros e racionais, e suas principais propriedades. Caracterização dos números racionais através da representação decimal. Existência e construção de números irracionais. O corpo ordenado dos números racionais.
     
  3. O Corpo dos Números Reais: O corpo ordenado dos números reais. Todo corpo ordenado contém uma cópia dos conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais. Intervalos e valor absoluto em corpos ordenados. Supremo e ínfimo de subconjuntos limitados superiormente e inferiormente. Corpo ordenado completo.
     
  4. Enumerabilidade. Definições e principais propriedades dos conjuntos infinitos enumeráveis. Enumerabilidade do conjunto dos números racionais e não enumerabilidade do conjunto dos números reais. Cardinalidade.
     
  5. Sequências de números reais. Limite de sequências. Propriedades aritméticas dos limites. Permanência do Sinal. Sequências monótonas. Subsequências. Sequências de Cauchy. Método das aproximações sucessivas. Aproximações da raiz quadrada. Limites Infinitos.
     
  6. Séries numéricas. Séries convergentes e absolutamente convergentes. Critério de Cauchy para convergência de séries. Séries harmônicas e geométricas. Série p. Teste da comparação. Testes de convergência (da raiz, da razão, de Leibniz e da Integral). Expansão decimal dos números reais.

 

Objetivos

  • Geral:
    • Discutir fatos básicos da Matemática elementar cuja compreensão depende de uma fundamentação teórica que garanta sua validade; e tomar contato com as principais teorias que propuseram a fundamentação do Cálculo e com ferramentas como sequências e séries que permitem entender melhor a matemática elementar e abrem as portas para o desenvolvimento de teorias matemáticas avançadas.
  • Específicos
    • Construir os principais conjuntos numéricos de forma axiomática, mostrando que a aritmética também está fundamentada em bases sólidas;
    • Caracterizar os números racionais através de suas representações fracionária e decimal;
    • Identificar, construir e operar números racionais e irracionais;
    • Discutir a enumerabilidade do conjunto dos números racionais e a não enumerabilidade dos números reais e dos números irracionais;
    • Estudar as principais propriedades dos corpos ordenados e do corpo ordenado completo dos números reais;
    • Formalizar as definições de convergência de sequências e de séries;
    • Discutir o método das aproximações sucessivas para o cálculo aproximado de raízes.

Referências Bibliográficas

Referências Principais:

  • Fudamentos da Aritmética; Hygino Domingues, editora UFSC, 2009
  • Análise Matemática para Licenciatura. Geraldo Ávila, Ed. Edgard Blücher
  • Curso de Análise, vol.1, Elon Lajes Lima, IMPA/SBM

Outras referências úteis:

  • Análise I. Djairo Guedes Figueredo, LTC
  • Análise Real, vol.1, Elon Lajes Lima, IMPA/SBM
  • Análise Matemática. Geraldo ávila, Ed. Edgard Blücher
  • Cálculo Infinitesimal. M. Spivak
  • Calculo Diferencial e Integral. R. Courant

 

Calendário de Provas

Prova Data PDF Conteúdo
1ª 04/09 P1_tarde
P1_noite 		Axiomas de Peano e os números naturais. Números inteiros e números racionais. Números irracionais.
1ª 09/10 P2_tarde
P2_noite 		Conjuntos enumeráveis. Corpos ordenados e os números reais. Supremo e ínfimo de conjuntos e funções.
2ª 27/11 P3_tarde
P3_noite 		Limites de sequências e suas propriedades. Subsequências. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Sequências de Cauchy. Método das aproximações sucessivas. Limites infinitos. Séries numéricas e critérios de convergência.
Exame Final 6/dez — todo o conteúdo da disciplina