Análise III - 2026

 

Nesta página você encontra as listas de exercícios, calendário das provas e demais informações sobre a disciplina.

Dados da disciplina

Identificação: CMM222 Análise III
Turma: MAT2 (bacharelado)
Aulas: Quartas e Sextas-feiras das 13h30 às 15h30min
Local: Sala PC05
Início: 5 de agosto de 2026
Término: 4 de dezembro de 2026
Formato: Semestral
CH: 60 horas
Ementa: Topologia do Rn. Limite e continuidade no Rn. Funções reais de várias variáveis: derivada parcial, função de classe C1, teorema de Schwarz, Fórmula de Taylor, pontos críticos. Teorema da função implícita para funções reais de várias variáveis. Multiplicador de Lagrange. Diferenciabilidade de uma aplicação de Rn em Rm. Teoremas da Função Inversa e Implícita. Aplicações do Teorema da Função Inversa e Implícita.

 

Listas de exercícios

Listas de exercícios do Prof. Wagner de Moraes também disponíveis neste link

  • 1ª Lista: O Espaço Vetorial Rn. Normas em Rn. Equivalência de Normas. Produto Interno em Rn. Distâncias em Rn;
  • 2ª Lista: Sequências em Rn. Conjuntos Abertos;
  • 3ª Lista: Conjuntos Fechados. Fronteira de um Conjunto. Conjuntos Compactos;
  • 4ª Lista: Conjuntos Convexos e Conexos.
  • 5ª Lista: Continuidade de Aplicações de Rn em Rm. Continuidade Uniforme.
  • 6ª Lista: Relação entre Propriedades Topológicas e Continuidade. Limites. Aplicações Lineares.
  • 7ª Lista: Aplicações Diferenciáveis. Derivada Direcional. Matriz Jacobiana e Gradiente. Propriedades Operatórias. A Regra da Cadeia.
  • 8ª Lista: Difeomorfismos. Teorema do Valor Médio. Teorema da Função Inversa. Teorema da Função Implícita.

 

Calendário de Provas

Prova Gabarito Data Conteúdo
Prova 1 Gabarito 1 11/09 Topologia do Rn
Prova 2 Gabarito 2 16/10 Limite e Continuidade no Rn, e Funções Diferenciáveis
Prova 3 Gabarito 3 02/12 Aplicações Diferenciáveis, e Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial
Exame Final Gabarito EF 09/12 Todo o conteúdo da disciplina

 

Notas das provas

Notação: Pk é nota na k-ésima prova e Lk é a nota da respectiva lista.
A k-ésima nota Nk= Pk+ Lk não pode superar 10,0.

  Matrícula Nota 1
(P1+L1)		 Nota 2 Nota 3 Média
M=(N1+N2+N3)/3
1 GRR20243313 8,0
(6,0+2,0) 		- - -
2 GRR20233644 7,0
(5,0+2,0) 		- - -
3 GRR20233651 8,0
(6,0+2,0) 		- - -
4 GRR20243667 7,0
(7,0+0,0) 		- - -
5 GRR20233652 10,0
(10,0+0,0) 		- - -
6 GRR20242007 5,0
(5,0+0,0) 		- - -
7 GRR20240604 8,0
(6,0+2,0) 		- - -
8 GRR20240471 10,0
(9,0,0+2,0) 		- - -
9 GRR20243041 7,0
(7,0+0,0) 		- - -
10 GRR20230290 10,0
(10,0+2,0) 		- - -
11 GRR20230282 6,0
(4,0+2,0) 		- - -

 

Programa da disciplina

 

Topologia do Rn
  1. Normas em Rn e produtos internos.
  2. Sequências em Rn.
  3. Conjuntos abertos e fechados.
  4. Conjuntos compactos
  5. Conjuntos conexos
Limite e Continuidade no Rn
  1. Continuidade em Rn.
  2. Continuidade Uniforme.
  3. Homeomorfismos.
  4. Continuidade e Compacidade.
  5. Continuidade e Conexidade.
Funções Diferenciáveis
  1. Derivada Parcial. Gradiente.
  2. Função de classe C1.
  3. Teorema de Schwarz.
  4. Fórmula de Taylor e Pontos Críticos.
  5. Teorema da Função implícita para Funções Reais de várias variáveis.
  6. Multiplicador de Lagrange.
Aplicações Diferenciáveis
  1. Diferenciabilidade em Rn.
  2. Matriz Jacobiana.
  3. Derivadas de Ordem Superior.
  4. Difeomorfismos.
Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial
  1. Teorema do Valor Médio.
  2. Teorema de Schwarz.
  3. Teorema de Taylor.
  4. Teorema da Função Inversa e da Função Implícita.
  5. A forma local das imersões e das submersões.
  6. Multiplicadores de Lagrange.

 

Diário de classe e planejamento

A tabela abaixo registra o conteúdo efetivamente ministrado em cada aula e o planejamento das aulas seguintes. O planejamento poderá sofrer ajustes ao longo do semestre.

Aula Data Conteúdo
Aulas ministradas
1 05/08 Espaço vetorial normado Rn. Norma euclidiana e distância. Definição geral de norma, normas do máximo e da soma, equivalência de normas e normas p.
2 07/08 Produto interno usual de Rn e definição geral de produto interno. Caracterização dos produtos internos de Rn. Desigualdade de Schwarz e desigualdade triangular. Ângulos entre vetores e ortogonalidade em Rn. Teorema de Pitágoras. Sequências em Rn. Sequências limitadas e convergência. Unicidade do limite. A convergência não depende da norma em Rn.
3 12/08 Sequências coordenadas e convergência. Soma e produto por sequência escalar de sequências convergentes. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Prova de que quaisquer duas normas em Rn são equivalentes. Sequências de Cauchy e completude de Rn.
4 14/08 Métricas em Rn e espaços métricos associados a diferentes normas. Bolas em Rn (diferentes formatos de bolas dependendo das normas associadas). Equivalência de normas e inclusão de bolas. Conjuntos limitados e aplicações limitadas. Ponto interior e conjunto aberto. A bola aberta é aberta. A bola fechada e a esfera não são abertas. O conjunto vazio e Rn são abertos. Reunião arbitrária de abertos é um conjunto aberto. Interseção finita de abertos é um conjunto aberto.
5 19/08 Relação entre abertos e sequências convergentes. Conjuntos fechados e propriedades complementares. Pontos aderentes e fecho de um conjunto. O fecho da bola aberta é a bola fechada. Caracterização de pontos aderentes por bolas e outras propriedades do fecho.
6 21/08 Fronteira de um conjunto. Ponto de acumulação e ponto isolado. Conjunto discreto. Caracterização de ponto de acumulação por vizinhanças perfuradas. Teorema de Weierstrass. Coberturas abertas e subcoberturas finitas. Conjuntos compactos. Todo compacto é limitado. Todo subconjunto fechado de um compacto também é compacto.
7 26/08 Paralelepípedos de Rn são conjuntos compactos. Teorema de Heine-Borel. Teorema dos compactos encaixados. Conjuntos sequencialmente compactos. Em Rn, a compacidade é equivalente à compacidade sequencial.
8 28/08 Topologia relativa (abertos e fechados relativos). Cisão de um subconjunto de Rn. Cisão trivial. Conexidade. Caracterização da conexidade por interseções vazias de fechos relativos a um dos conjuntos abertos da cisão. Caracterização da conexidade por subconjuntos simultaneamente abertos e fechados. Conjuntos convexos. Convexidade implica conexidade.
9 02/09 Reunião de conjuntos conexos com um ponto comum é um conjunto conexo. Os únicos subconjuntos conexos não vazios da reta são os intervalos. Componente conexa. Todo subconjunto de Rn pode ser escrito como a reunião disjunta de suas componentes conexas. Todo aberto da reta pode ser escrito como a reunião no máximo enumerável de intervalos abertos.
10 04/09 Continuidade em Rn. Caracterização da continuidade por bolas. Exemplos de aplicações contínuas (identidade, constantes, normas e projeções em coordenadas). Caracterização de aplicações contínuas por imagens inversas de abertos. Caracterização da continuidade por convergência de sequências. Propriedades aritméticas da continuidade.
11 11/09 Primeira avaliação e entrega da lista de exercícios.
12 16/09 Continuidade e funções coordenadas. Continuidade da função composta. Exemplos de continuidade (aplicações cujas coordenadas são funções polinomiais ou racionais com denominador não nulo). Continuidade uniforme. Funções lipschitzianas. Translações e homotetias.
13 18/09 A distância de ponto a conjunto é uma função lipschitziana. Caracterização da continuidade uniforme por sequências. Aplicações uniformemente contínuas levam sequências de Cauchy em sequências de Cauchy. Homeomorfismos. Bolas abertas são sempre homeomorfas. A bola B(0,1) é homeomorfa a Rn. Bolas fechadas e cubos são homeomorfos.
14 23/09 Gráficos e domínios de funções contínuas são homeomorfos. Projeção estereográfica. Continuidade e compacidade. Resumo das propriedades da imagem direta e da imagem inversa. Prova de que a compacidade é preservada por funções contínuas. Teorema de Weierstrass (toda função contínua sobre um compacto assume seus valores máximo e mínimo).
15 25/09 Toda bijeção contínua sobre um compacto é um homeomorfismo. Toda função contínua sobre um compacto é uniformemente contínua. A imagem de um conjunto conexo por uma função contínua é um conjunto conexo. Teorema do valor intermediário. Teorema de Borsuk-Ulam para dimensão 1. O produto cartesiano de dois conjuntos é conexo se e somente se cada um dos fatores é conexo.
16 30/09 Caminhos que ligam dois pontos e justaposição de caminhos. Conexidade por caminhos e exemplos (conjuntos convexos, Rn menos um ponto e esfera). Conexidade por caminhos implica conexidade, exemplo de conjunto conexo que não é conexo por caminhos. Conexidade por caminhos é preservada por funções contínuas.
17 02/10 Abertos conexos são conexos por caminhos. Definição de limite. Relação entre continuidade e existência do limite. Limite das funções coordenadas. Teorema do confronto e da permanência de desigualdades. Propriedades operacionais dos limites.
Planejamento das próximas aulas
18 07/10 Aplicações lineares de Rn em Rm. Norma espectral. Sequências de operadores lineares. Convergência absoluta e pontual.
19 09/10 Aplicações diferenciáveis em Rn. Derivada direcional. Exemplos de aplicações diferenciáveis em Rn.
20 14/10 Derivada parcial e matriz Jacobiana. O gradiente.
21 16/10 Exemplos de aplicações diferenciáveis em Rn. A regra da cadeia. Propriedades operatórias de aplicações diferenciáveis.
SIEPE 19 a 23/10 Aulas suspensas segundo o calendário da UFPR.
22 28/10 Difeomorfismos. O Teorema do Valor Médio. Condições suficientes para diferenciabilidade.
23 30/10 Derivadas de ordem superior. O Teorema de Schwarz. O Teorema de Taylor.
24 04/11 Exercícios
25 06/11 Segunda avaliação (até regra da cadeia) e entrega da lista de exercícios.
J3M 09 a 13/11 Aulas suspensas para participação no evento.
26 18/11 Máximos e mínimos.
27 20/11 Teorema da Função Inversa e Teorema da Função Implícita.
28 25/11 A forma local das imersões e das submersões.
29 27/11 Multiplicadores de Lagrange.
30 02/12 Terceira avaliação e entrega da lista de exercícios.
Exame final 09/12 Todo o conteúdo da disciplina

 

Referências

Bibliografia recomendada
  • Ronaldo Freire de Lima. Topologia e Análise no Espaço Rn, SBM, 2015
  • Elon Lajes Lima. Análise Real. Vol. 2, Funções de n variáveis, Impa, 2010.
Bibliografia complementar
  • Elon Lajes Lima. Curso de Análise. Vol. 1 e 2, Impa
  • Elon Lajes Lima. Analise no Espaço Rn, Impa
  • Michael Spivak. O Cálculo em Variedades. Ed. Ciência Moderna, 2003