prof. alexandre kirilov

departamento de matemática

Fundamentos de análise - 2023

Nesta página você encontra o diario de classe, com um resumo do que foi visto nas últimas aulas e o que está previsto para as próximas.

Informações da disciplina | Roteiro de estudo | Diário de classe | Notas das provas

Diário de classe

[07/08/23] 1ª aula: Apresentação da disciplina (programa, bibliografia e critérios de avaliação).
Iniciamos o conteúdo com a construção do conjunto dos números naturais a partir dos Axiomas de peano, definimos precisamente a adição de números naturais e discutimos suas principais propriedades (associatividade, comutatividade, elemento neutro e lei do cancelamento). A seguir definimos a multiplicação de números naturais e apenas enunciamos suas principais propriedades (associatividade, comutatividade, elemento neutro e lei do cancelamento).
[pag. 80 a 82 do livro do Hygino]
[09/08/23] 2ª aula: Iniciamos a aula recordando a definição de multiplicação e suas principais propriedade. Provamos as seguintes propriedades: 1) a+b=0 implica em a=0 e b=0; 2) 0.a=a. A seguir estabelecemos a relação de ordem "menor ou igual a" no conjunto dos números naturais ℕ e apresentamos suas principais propriedades (reflexividade, anti-simetria e transitividade). A seguir provamos que esta ordem é completa no conjunto dos números naturais.
[pag. 83 a 85 do livro do Hygino].
[14/08/23] 3ª aula: Começamos a aula enunciando e demonstrando o princípio da boa ordenação no conjunto dos números naturais ℕ. Também mostramos se a.b=1 então a=1 e b=1, e que 2 é um número primo. A seguir passamos à construção formal do conjunto dos números inteiros: introduzimos uma relação de equivalência no conjunto ℕ×ℕ, definimos as classes de equivalência e o conjunto quociente com respeito a esta relação de equivalência. Observamos que, para a,b ∈ℕ, quando a≥b a classe (a,b) = (a-b,0); e quando quando a≤b a classe (a,b) = (0,b-a). Com base nisso, introduzimos as notações: 0= (0,0), +n= (n,0) e -n= (0,n), para qualquer n∈ℕ. Também escrevemos ℤ={0,+1,-1,+2,-2,+3,-3,...}. Para concluir a aula definimos a adição de números inteiros e mostramos que essa definição não depende do representante da classe de equivalência.
[pag. 86, 87 e de 162 a 166 do livro do Hygino]
[16/08/23] 4ª aula: Começamos a aula recordando a definição de adição em ℤ, vimos sua principais propriedades e definimos a subtração de inteiros. A seguir, definimos a multiplicação de números inteiros e verificamos suas principais propriedades. Apresentamos alguns exemplos de adições e produtos de inteiros. Provamos a regra dos sinais em ℤ. Introduzimos a relação "menor ou igual" em ℤ e verificamos que esta é uma relação de ordem total. Concluímos a aula mostramos que o conjunto dos números naturais está imerso no conjunto dos números inteiros, o que nos permite escrever ℕ⊂ℤ.
[pag. 162 a 166 do livro do Hygino]
[21/08/23] 5ª aula: Começamos a aula introduzindo uma relação de equivalência "~" no conjunto ℤ×ℤ* e obtendo a construção formal do conjunto dos números racionais como o quociente ℤ×ℤ*/~. A seguir definimos a adição de números racionais, mostramos que essa operação está bem definida e obtivemos suas principais propriedade. Definimos a multiplicação em ℚ e verificamos suas principais propriedades. Concluimos que o conjunto ℚ com as operações de adição e multiplicação é um corpo. Definimos as operações de subtração em divisão em ℚ. Também definimos a relação "menor ou igual" em ℚ e verificamos que esta é uma relação de ordem total compatível com as operações de adição e multiplicação, concluindo que ℚ é um corpo ordenado. Concluímos a aula provando que o corpo dos racionais é denso e arquimediano. Ficou faltando provar apenas que ℤ está imerso em ℚ, o que nos permite escrever ℕ⊂ℤ⊂ℚ.
[pag. 167 a 169 e 181 a 184 do livro do Hygino].
[23/08/23] 6ª aula: Dedicamos a aula ao estudo da forma decimal dos números racionais, obtendo condições para que a representação decimal de um racional seja finita ou infinita periódica. Reciprocamente associamos a qualquer forma decimal finita ou infinita periódica um número racional. Verificamos que as representações finitas podem ser transformadas em representaçãoes infinitas periódicas e chegamos a seguinte caracterização dos racionais: um número não nulo é racional se e somente se possui uma representação decimal infinita periódica. Também negamos este resultado para garantir a existência de números não racionais (números cuja representação decimal é infinita e não periódica) e provamos a unicidade da representação dos números racionais na forma decimal infinita periódica.
[pag. 184 a 186, e 190 a 197 do livro do Hygino] e [texto representa_racionais.pdf].
[28/08/23] 7ª aula: Revisitamos a clássica demonstração da irracionalidade de √2 e a adaptamos para mostrar que √3, √6 e outros números são irracionais. A seguir, obtivemos uma demonstração mais simples da irracionalidade de √2 usando a unicidade de decomposição em fatores primos dada pelo Teorema Fundamental da Aritmética; e adaptamos esta demonstração para provar que a raiz quadrada de um número natural é racional se e somente se este número é um quadrado perfeito. Também generalizamos este resultado para raízes k-ésimas. Concluímos a aula provando o teorema de raízes racionais para polinômios com coeficientes inteiros e usando-o para mostrar alguns exemplos de números irracionais.
[capítulo 4 do livro do Ivan Niven do ivan niven].
[30/08/23] 8ª aula: Operações com números racionais e irracionais. Exercícios e esclarecimentos de dúvidas sobre o conteúdo para a primeira prova
[04/09/23] 9ª aula: 1ª Prova.
[06/09/23] 10ª aula: Iniciamos a aula definindo cortes no conjunto dos números racionais (uma adaptação do conceito introduzido por R. Dedekind, em 1872). Apresentamos dois exemplos de cortes: 1) K(a)={x∈ℚ : x<a}, para a∈ℚ fixado, e 2) K={x∈ℚ: (x< 0) ou (x≥0 e x²<2)}. Definimos o conjunto dos números reais como sendo ℝ = {J : J é um corte em ℚ} e a adição de números reais por J+K = {x+y; x∈J e y∈K}, para todo J,K∈ℝ. Mostramos que a adição está bem definida, ou seja, que J+K é um corte, e enunciamos e provamos as quatro principais proriedades da adição: associatividade, comutatividade, elemento neutro e elemento oposto.
[páginas 310 a 313 do texto cortes_Hygino.pdf].
[11/09/23] 11ª aula: Definimos a relação de ordem "≤" no conjunto dos números reais da seguinte forma: dados J,K∈ℝ, temos J≤K se e somente se J⊂K. Provamos que "≤" é uma ordem total. Definimos a multiplicação no conjunto dos números reais e enunciamos suas principais propriedades, concluindo que ℝ é um corpo ordenado. Definimos uma imersão de ℚ em ℝ, logo existe uma cópia do corpo dos racionais dentro do corpo dos reais. Provamos que ℚ é denso em ℝ. E concluímos a aula provando que todo conjunto não vazio 𝔸⊂ℝ limitado superiormente tem supremo.
[páginas 313 a 316 do texto cortes_Hygino.pdf].
[13/09/23] 12ª aula: Começamos a aula provando que o conjunto dos números reais é completo. Intuitivamente, significa que "não tem buracos", de forma mais precisa: se ℝ=A∪B com A∩B = ∅ e a<b, para todo a∈A e b∈B, então existe um único c∈ℝ tal que a≤c≤b. Concluímos a construção dos reais provando que existe um único número real cujo quadrado é 2, denominado "raiz quadrada de 2 e denotado √2 ".
A seguir, iniciamos o estudo de conjuntos finitos e infinitos, dando definição precisa de conjunto finito, contagem e número de elementos. Provamos que contagens diferentes levam ao mesmo número de elementos.
[páginas 317 a 319 do texto cortes_Hygino.pdf] + [páginas 4 e 5 do capítulo 1 do livro Análise Real, vol. 1, do Elon (analise_elon(cap_1).pdf)].
[18/09/23] 13ª aula: Começamos a aula provando que todo subconjunto de um conjunto finito também é finito. A seguir, provamos que se X é finito então f:X→X é injetiva se e somente se f é sobrejetiva. Assim, dada f: X → Y, temos: 1) se Y é finito e f é injetiva então X é finito; e 2) se X é finito e f é sobrejetiva então Y é finito. Concluímos esta parte mostrando que um subconjunto de números naturais é finito se e somente se é limitado.
A seguir, definimos conjuntos infinitos e obtivemos as seguintes caracterizações pela negação lógia de resultados anteriores: 1) "X⊂ ℕ é infinito se e somente se X é ilimitado; e 2) Se existe uma bijeção entre X e um subconjunto próprio, então X é infinito. Concluímos a aula provando que se X é infinito, então existe uma função injetiva f: ℕ → X (aqui usamos fortemente o axioma da escolha).
[páginas 5 e 6 do capítulo 1 do livro Análise Real, vol. 1, do Elon (analise_elon(cap_1).pdf)].
[20/09/23] 14ª aula: Completamos o resultado da aula anterior provando que X é infinito se e somente se existe uma bijeção entre X e um subconjunto próprio. Definimos conjunto enumerável e provamos que os conjuntos dos números inteiros ℤ e dos número racionais positivos ℚ₊ são enumeráveis. Provamos que todo subconjunto de números naturais é enumerável e como consequência obtivemos os seguintes corolários: (1) se Y é enumerável f : X → Y é injetiva então X e enumerável; e (2) se X é enumerável e f: X → Y é sobrejetiva então Y é enumerável. Também provamos que o produto cartesiano de conjuntos enumeráveis é enumerável e usamos este resultado para provar que o conjunto ℚ dos números racionais é enumerável (f : ℤ × ℤ* → ℚ, f(p,q) = p/q é sobrejetiva e ℤ × ℤ* é enumerável, logo ℚ é enumerável)..
[páginas 7 e 8 do capítulo 1 do livro Análise Real, vol. 1, do Elon ( analise_elon(cap_1).pdf)]
[25/09/23] 15ª aula: Começamos a aula estabelecendo que card(Y) ≤card(Y) quando existe uma função injetora de X em Y. Que o número cardinal coincide com o número de elementos, quando o conjunto é finito e que a cardinalidade dos conjuntos infinitos enumeráveis é a menos cardinalidade entre os conjuntos infinitos. A seguir definimos o conjunto Z ⊂ ℝ formado pelos numeros reais cuja forma decimal é infinita da forma z=0,d₁d₂d₂..., com d_j∈{0,1}, para todo j natural. E provamos que Z não é enumerável, usando o argumento diagonal de Cantor. Como consequência obtivemos que ℝ não é enumerável. Para encerrar o assunto provamos o Teorema de Cantor (não existe função sobrejetora φ de X no conjunto das funções F(X;Y), quando Y tem pelo menos dois elementos). Para concluir a aula, demos a definição de corpo, alguns exemplos e propriedades, seguindo as primeiras páginas do cpiítulo 3 do Livro do Elon.
[páginas 51 a 54 e 61 a 65 do livro "Curso de Análise, vol. 1", do Elon (curso_analise(cap3).pdf)].
[27/09/23] 16ª aula: Apresentamos a definição de corpo ordenado e discutimos algumas consequências das definições. Verificamos que o quadrado de qualquer elemento não nulo é positivo e, em particular, 1 é positivo e portanto -1 não é quadrado de ninguém. Consequentemente, o corpo dos números complexos não pode ser ordenado (pois i²=-1). Definimos as relações de ordem usuais (x≤y, x<y, x≥y e x>y) e verificamos suas principais propriedades. Também mostramos que em qualquer corpo ordenado há uma cópia dos conjuntos ℕ, ℤ e ℚ. A seguir definimos o valor absoluto e provamos algumas de suas propriedades, tais como a desigualdade triangular e suas consequências.
[páginas 65 a 73 do livro "Curso de Análise, vol. 1", do Elon (curso_analise(cap3).pdf)].
[02/10/23] 17ª aula: Começamos a aula falando novamente de conjuntos limitados, supremo e ínfimo no conjunto dos números reais. Recordamos que o termo "corpo ordenado é completo" significa que todo conjunto limitado superiormente tem supremo. Mostramos que o supremo e o ínfimo são únicos. Demos alguns exemplos. Definimos supremos e ínfimo de funções. Provamos que se f e g são funções limitadas então sup(f+g) ≤ sup(f)+sup(g), inf(f+g) ≥ inf(f)+inf(g). A seguir provamos o teorema dos intervalos encaixados e usamos este resultado para mostrar que nenhuma função f: ℕ → ℝ pode ser sobrejetora, e portanto, o conjuntos dos números reais não é enumerável. Encerramos aqui o asunto para a primeira prova.
[páginas 73 a 78 do livro "Curso de Análise, vol. 1", do Elon (curso_analise(cap3).pdf)].
[04/10/23] 18ª aula:
Exercícios e esclarecimentos de dúvidas sobre o conteúdo para a segunda prova
[09/10/23] 19ª aula: 2ª Prova
[11/10/23] 20ª aula: Definimos sequência de números reais e introduzimos sua notação. Demos a definição precisa de limite de uma sequência, com ε e n, e fizemos várias considerações, por exemplo: se "lim a_n=L então apenas um número finito de elementos de (a_n) pode estar fora do intervalo (L- ε, L+ε), qualquer que seja o ε>0 fixado. Provamos que o limite, quando existe, é único; e que toda sequência convergente é limitada. Constatamos que, se o limite de uma sequência pertence a um intervalo qualquer, então todos os termos dessa sequência, a partir de certo índice, estão neste memsmo intervalo. Ddeduzimos desse resultado o teorema da permanêcia do sinal.
[Cap. 2 do livro "Análise Matemática para Licenciatura", do G. Ávila (analise_licenc_avila_45a59.pdf)].
[16 a 20/10/23] SIEPE: Semana Integrada de Ensino, Pesquisa e Extensão. Segundo o Artigo 4º da resolução 62/22, que estabelece o calendário acadêmico dos cursos de graduação, nesta semana é vedada a realização de qualquer avidade acadêmica em sala de aula.
[23/10/23] 21ª aula: Provamos as regras operacionais com limites (adição e produto de sequências, além da divisão de sequências quando o limite do denominador é diferente de zero). Também provamos que lim a^1/n =1, para todo a>0, e que lim n^1/n =1. A seguir, definimos sequência monótona e provamos que toda sequência monótona limitada é convergente (por exemplo: se a sequência é crescente e limitada então converge para o supremo).
[Cap. 2 do livro "Análise Matemática para Licenciatura", do G. Ávila (analise_licenc_avila_45a59.pdf)].
[25/10/23] 22ª aula: Começamos a aula provando que a sequência a_n=(1+1/n)ⁿ é crescente e limitada, e portanto convergente (o limite é o número "e" de Euler). Em particular, verificamos que 2 ≤ a_n ≤ 3, ∀n. A seguir, iniciamos o estudo de subsequências mostrando que se se uma sequência converge, então toda subsequência converge para este mesmo limite. Este resultado fornece um método para mostrar que uma sequênca não converge (basta apresentar duas subsequências com limites distintos). Definimos precisamente o significado de limx_n = ±∞. Provamos que, para a>1, temos lim aⁿ=+∞. Concluímos a aula enunciando alguns resultados clásicos com limites infinitos, deixados como exercício. [Cap. 2 do livro "Análise Matemática para Licenciatura", do G. Ávila (analise_licenc_avila_60a74.pdf)].
[30/10/23] 23ª aula: Discutimos os casos de indeterminação ∞-∞, ∞/∞, ∞⁰, 0/0, 0.∞, 0⁰ e 1^∞. A seguir provamos o seguinte resultado: se a_n>0 e lim a_n+1 / a_n= L < 1 então lim a_n = 0. Usamos este resultado para mostrar que, dados k natural e a>1, tem-se n^k << aⁿ << n! << nⁿ, para n grande (aqui o símbolo "<<" deve ser entendido como "é uma parte ínfima" ou "é uma fração pequena de"). Após isso provamos o teorema dos intervalos encaixados e o teorema de Bolzano-Weierstrass, que afirma que toda sequência limitada tem subsequência convergente. A prova deste teorema foi feita pelo metodo da bissecção junto com o teorema dos intervalos encaixados.
[Cap. 2 do livro "Análise Matemática para Licenciatura", do G. Ávila (analise_licenc_avila_60a74.pdf)] + [Cap. 3 do livro "Análise Real, vol. 1", do Elon (analise_real_vol1_elon_23a37.pdf)].
[01/11/23] 24ª aula: Definimos sequências de Cauchy, mostramos que toda sequência convergente é de Cauchy; que toda sequência de Cauchy é limitada e, finalmente, que toda sequência de Cauchy é convergente. Como aplicação desenvolvemos o método das aproximações sucessivas, ou seja, |x_n+2 - x_n+1| ≤ λ|x_n+1 - x_n|, para algum λ ∈[0,1), então (x_n) é convergente. A seguir usamos este método para calcular aproximações da raiz quadrada (através da sequência recorrente x_n+1=(x_n+a/x_n)/2.
[Cap. 3 do livro "Análise Real, vol. 1", do Elon].
[06/11/23] 25ª aula: Começamos a aula analisando exemplos conhecidos de séries convergentes, como expansões decimais que geram dízimas periódicas. A seguir analisamos a Série de Grandi e discutimos o que significa somar um número infinito de termos. Definimos convergência de somas infinitas a partir a convergência de somas parciais. Estudamos a convergência da série geométrica com razão menor que 1. Provamos que o termo geral de uma série convergente tende a zero. Enunciamos o critério de Cauchy para séries. Provamos que a série harmônica diverge e que a série ∑1/n^p converge quando p> 1. Enunciamos e provamos o teste da comparação
[Cap. 5 do livro "Análise Matemática para Licenciatura", do G. Ávila ( analise_licenc_avila_75a86.pdf)].
[08/11/23] J3M: Aulas dispensadas a pedido da Coordenação do Curso, para que os alunos possam participar da Jornada de Matemática, Matemática Aplicada e Educação Matemática. A frequência desta aula será contabilizada pela participação do estudante na sessão da J3M realizada no horário da aula.
[13/11/23] 26ª aula: Aplicamos o teste da comparação em exemplos da forma ∑ p(n)/q(n) (quociente de polinômios) analisando a velocidade com que este quociente tende a zero para decidir se a série converge ou diverge. A seguir enunciamos e provamos os testes da razão, da raiz e da integral, aplicando cada um desses testes em exemplos relevantes, como: ∑ aⁿ/n!, ∑ n!/nⁿ, ∑ (log n/n)ⁿ e ∑ 1/(nlog n).
[Cap. 5 do livro "Análise Matemática para Licenciatura", do G. Ávila ( analise_licenc_avila_75a86.pdf e analise_licenc_avila_87a98.pdf)].
[20/11/23] 27ª aula: Mostramos que se (a_n) é uma sequência monótona não crescente que tende a zero, então a série ∑ (-1)ⁿ⁺¹ a_n é convergente. Definimos série absolutamente convergente e condicionalmente convergente e demos vários exemplos. Provamos que toda série absolutamente convergente é convergente e apresentamos alguns exemplos relevantes. Também provamos que o número de Euler e=∑ 1/n! é irracional.
[Cap. 5 do livro "Análise Matemática para Licenciatura", do G. Ávila ( analise_licenc_avila_87a98.pdf)].
[22/11/23] 28ª aula: Esclarecimentos de dúvidas e resolução de exercícios.
[27/11/23] 29ª aula: 3ª Prova.
[29/11/23] 30ª aula: Encerramento da disciplina.
[06/12/23] Exame final: Exame final da disciplina