Prof. Alexandre Kirilov

Departamento de Matemática

Análise na Reta – 2019

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Diário de Classe e planejamento das aulas

Nesta página você encontra o diario de classe com o resumo das aulas dadas e o planejamento da disciplina para o semestre todo.

Diário de Classe

[06/08/2019] 1ª aula: Apresentação da disciplina (programa, bibliografia e critérios de avaliação). Inicio do conteúdo: Recordamos os conceitos de imagem direta e imagem inversa de um conjunto por uma função. Definimos função limitada, supremo e infimo de uma função. Provamos alguns resultados como: sup(f+g) ≤ sup(f)+sup(g) e sup(–f) = – inf(f).
[Referência: pág. 133-140 do livro "Análise Matemática para Licenciatura" de G. Ávila]
Tarefa: resolver os exercícios das páginas 138-139, escanear e enviar para o professor no seguinte endereço: analise.na.reta.ufpr@gmail.com
Dica: use um aplicativo específico para escanear textos (CamScanner, Office Lens etc.) ou a ferramenta de escanear do Google Drive presente no seu celular (como usar?).
[08/08/2019] 2ª aula: Definimos ponto interior, interior de um conjunto e conjunto aberto. Provamos que a união arbitrária e a interseção finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto. Definimos ponto aderente, fecho e conjunto fechado. Provamos que: 1) um conjunto é fechado se e somente se seu o seu complementar é um conjunto aberto; 2) que a união finita e a interseção arbitrária de conjuntos fechados é um conjunto fechado; e 3) que um ponto é interior a um conjunto se e somente se existe uma sequência de pontos deste conjunto que converge para este ponto.
[Referência: pág. 49-51 do livro "Análise Real, Vol. 1" de Elon L. Lima]
[13/08/2019] 3ª aula: Não tivemos aula devido a Greve Geral da Educação.
[15/08/2019] 4ª aula: Definimos ponto de acumulação, ponto isolado e conjuntos discreto. Mostramos que p é ponto de acumulação de X se e somente se existe uma sequência em X-{p} que converge para p. Usando o Teorema de Bolzano-Weierstrass, mostramos que todo conjunto infinito limitado tem pelo menos um ponto de acumulação. Definimos conjunto compacto e vimos sua caracterização via sequências.
[pág. 51 a 54 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
(neste momento podemos evitar os assuntos: cisão/conexidade e a caracterização de compactos por coberturas abertas)
[20/08/2019] 5ª aula: Demos as definições precisas de limite e de continuidade. Provamos o teorema da permanência do sinal e as propriedades aritméticas do limite. Mostramos que toda função polinomial é contínua e que todas função racional e contínua nos pontos em que o denominador é não nulo. Provamos a caracterização da continuidade por sequências e analisamos o exemplo f(x)=sen(1/x) quando x tende a zero.
[pág. 142 a 149 do livro "análise matemática para licenciatura", do g. ávila]
[22/08/2019] 6ª aula: Demos duas provas distintas da unicidade do limite: 1ª) usando caracterização por sequências; e 2ª) supondo, por absurdo, que os limites são diferentes e gerando contradição com a definição. Provamos que o limite do produto de uma função localmente limitada por outra que tende a zero é igual a zero. Na sequência analisamos o exemplo f(x)=x.sen(1/x). Provamos que a composição de funções contínuas é contínua. Definimos ponto de acumulação a esquerda e a direita de um conjunto, limites laterais a esquerda e a direita e continuidade lateral. Concluímos a aula provando que toda função monótona limitada têm limites laterais (justamente o supremo/ínfimo de f).
[pág. 67 a 70 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima] + [pág. 151 e 152 do livro "análise matemática para licenciatura", do g. ávila]
[27/08/2019] 7ª aula: Começamos a aula apresentando as definições de limites infinitos e de limites no infinito. Enunciamos e discutimos a demonstração de alguns resultados elementares com soma, produto e quaciente de limites deste tipo (adicionando hipóteses para evitar casos de indeterminação). A seguir passamos a discutir os tipos de descontinuidades de uma função: removível, salto (ou de primeira espécie) e descontinuidades de segunda espécie. Encerramos a aula com o teorema que garante que as descontinuidades de uma função monótona são sempre do tipo salto e que o conjunto descontinuidade de uma tal função é enumerável.
[pág. 155 a 160 do livro "análise matemática para licenciatura", do g. ávila]
[29/08/2019] 8ª aula: Enunciamos e demonstramos o teorema do valor intermediário (TVI) usando o método das bisseções. A seguir mostramos que todo polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real, a existência e unicidade da raiz n-ésima de qualquer número positivo e provamos o Teorema do ponto fixo de Brower. Também usando o TVI demonstramos que a imagem de um intervalo por uma função contínua é um intervalo. A seguir provamos que a imagem de um conjunto compacto por uma função contínua é um conjunto compacto e consequentemente que toda função contínua definida em um conjunto compacto assume máximo e mínimo (Teorema de Weierstrass).
[pág. 161 a 165 do livro "análise matemática para licenciatura", do g. ávila] + [pág. 77 a 82 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[03/09/2019] 9ª aula: Discussão e ideias para a resolução de exercícios.
[05/09/2019] 10ª aula: 1ª Prova
[10/09/2019] 11ª aula: a derivada de uma função em um ponto, retas secante e tangente a gráfico de uma função derivável; a diferencial de uma função derivável. Derivada da soma, produto e quociente de funções deriváveis e regra da cadeia. A função derivada, funções de classe C^k e de classe C^∞. Exemplos de funções deriváveis, de classe C^k e C^∞. Regra de L'Hôpital.
[pág. 175 a 182 do livro do livro "análise matemática para licenciatura", do g. ávila] + [pág. 91 a 95 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[12/09/2019] 12ª aula: Derivada da função inversa. Máximos e mínimos locais. Extremos locais de funções deriváveis em intervalor ocorrem nos extremos do intervalo ou em pontos críticos (derivada nula). Teorema de Rolle. Teorema do valor médio de Lagrange e aplicações (derivada nula em um intervalo implica na função ser constante; derivada limitada implica na função ser lipschitziana; derivada positiva implica em crescimento local)
[pág. 183 a 185 do livro "análise matemática para licenciatura", do g. ávila] + [pág. 98 a 100 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[17/09/2019] 13ª aula: Polinônio de Taylor. Fórmula de Taylor com resto infinitesimal. Classificação de pontos críticos de funções que possuem uma derivada de ordem superior não nula. Regra de L'Hôpital mais geral. Fórmula de Taylor com resto de Lagrange.
[pág. 144 a 108 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[19/09/2019] 14ª aula: revisão dos conceitos de supremo e ínfimo de conjuntos. A seguir falamos de supremos e ínfimo de funções e apresentando suas principais propriedades. Definimos partição de um intervalo [a,b] e refinamento de partição; somas inferiores e somas superiores; integral inferior e integral superior.
[pág. 121 a 124 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[24/09/2019] SIEPE - não teremos aula (conforme resolução 68/18 do CEPE que fixa o calendário escolar para o ano letivo de 2019)
[26/09/2019] SIEPE - não teremos aula (conforme resolução 68/18 do CEPE que fixa o calendário escolar para o ano letivo de 2019)
[01/10/2019] 15ª aula: mostramos que ao refinar uma partição as somas superiores não aumentam e as somas inferiores não diminuem. Como consequência provamos que a integral inferior é menor ou igual a superior e definimos função Riemann integrável (quando as integrais superior e inferior coincidem). A seguir apresentamos um critério geral de integrabilidade (uma função limitada f é integrável no domínio [a,b] ↔ dado ε>0, existe partição P de [a,b], tal que a oscilação ∑ ω_i (t_i-t_i-1) < ε. Demos exemplos de funções integráveis e não integráveis.
[pág. 123 a 126 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[03/10/2019] 16ª aula: Provamos que uma função f é integrável em no intervalo [a,b] se, e somente se, para todo c ∈(a,b) as restrições de f aos intervalos [a,c] e [c,b] são integráveis. A seguir provamos que ∫(f+g)=∫f+∫g e que ∫cf =c∫f. A seguir mostramos que se f ≥ g então ∫f ≥ ∫g; que f integrável implica |f| integrável e vale a desigualdade |∫f| ≤ ∫|f|.
[08/10/2019] 17ª aula: Apresentamos a definição de continuidade uniforme e sua caracterização por sequências. Também provamos o teorema de Heine (toda função contínua sobre um compacto é uniformemente contínua). Na sequência provamos que toda função contínua definida em um compacto é integrável (a prova usa a continuidade uniforme de f para mostrar que S(f;P) - s(f;P) < ε ).
[Integral: pág. 129 a 131 do livro do elon] + [continuidade uniforme: pág. 83-86 do livro do elon ou pág 197 a 200 do livro do g. ávila]
[10/10/2019] 18ª aula: Demonstramos o Teorema Fundamental do Cálculo (supondo que o integrando é uma função contínua), a fórmula de mudança de variáveis na integral e a fórmula de integração por partes. TambC)m obtivemos a fórmula do valor médio para integrais e a fórmula de Taylor com resto integral (usando integração por partes e indução)
[pág. 137 e 139 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[15/10/2019] 19ª aula: resolução de exercícios
[17/10/2019] 20ª aula: 2ª Prova
[22/10/2019] 21ª aula: Definimos o logaritmo como a integral da função 1/t e provamos suas principais propriedades: 1) log é crescente; 2) log é infinitamente diferenciável; 3) log é positiva no intervalo x>1; 4) log é negativa no intervalo (0,1); 5) log xy =log x +log y; 6) log x^s = s log x, para qualquer s racional; 7) log é uma função sobrejetiva; 8) pelo TVI, log satisfaz a propriedade 6 para todo s real; 9) log é bijetiva, portanto tem inversa, denominada exponencial. A seguir provamos que a função exponencial (como inversa do logaritmo) é bijetiva, crescente e infinitamente diferenciável, com (exp x)'=exp x. A seguir provamos que: exp(x+y)=(exp x)(exp y) e denotando e=exp(1), mostramos que exp(x) = e^x, para todo x real. Provamos que lim_x→∞ log(x)/x =0 e que lim_x→∞ x^k/e^x =0, ou seja, log(x) tende ao infinito muito mais devagar que x e a exponencial tende ao infinito muito mais rapidamente que qualquer polinômio.
[pág. 140 a 144 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[24/10/2019] 22ª aula: Definimos potências com base a>0 por a^x = e^{x log(a)} e o logaritmo de base a>0 como sendo a inversa da função f(x)= a^x, ou seja,log_a(x)=y ↔ a^y=x. Provamos que o único número real (denotado "e") que satisfaz log(e)=1 é o número de Euler que já apareceu no estudo de sequências, ou seja, lim_n→∞ (1+1/n)ⁿ = e. A seguir estendemos o conceito de integral de Riemann de função limitada para intervalos não compactos, e passamos a estudar os dois tipos de integrais impróprias existentes: 1) integral de funções não limitadas definidas em intervalos limitados; e 2) integral de funções definidas em intervalos não limitados. Assumindo que o integrando é uma função contínua, a primitiva estará bem definida em subintervalos e a integral será dada por um limite conveniente. Concluímos a aula com o exemplo ∫ dx/x^α, com α>0, analisando sua integrabilidade nos intervalos (0,1] e [1,+∞).
[pág. 144 a 147 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[29/10/2019] 23ª aula: começamos apresentando a definição e exemplos de convergência simples e convergência uniforme de sequências de funções. O primeiro resultado provado foi que o limite uniforme de uma sequência de funções contínuas é uma função contínua. A seguir provamos que o limite pode comutar com o sinal de integral quando a sequência de funções é uniformemente convergente. o último resultado provado foi a derivação termo a termo de uma sequência, mais precisamente: se uma sequência de funções (f_n) de classe C¹ converge em um ponto do domínio e a sequência de derivadas (f'_n) converge uniformemente então g então existe uma função f que é o limite uniforme de (f_n) e f'=g.
[pág. 215-223 do livro "análise matemática para licenciatura" do g. ávila]
[31/10/2019] 24ª aula: começamos a aula definindo convergência uniforme para séries de funções e reescrevendo os resultados da aula anterior para séries de funções. Em particular que ∫∑f_n = ∑∫f_n, quando (f_n) converge uniformemente; e (∑f_n)'=∑f'_n, quando a series das derivadas converge uniformemente. A seguir enunciamos e provamos o teste M de Weierstrass. Introduzimos o conceito de séries de potências e discutimos alguns exemplos (∑xⁿ/n!, ∑xⁿ/n e ∑(nx)ⁿ). concluímos a aula provando o seguinte Teorema: "se a série ∑a_nxⁿ converge em x₀≠0, então converge para todo x real com |x|<|x₀|, e se diverge em x₁, então diverge para todo x real com |x|>|x₁|".
[pág. 224-230 do livro "análise matemática para licenciatura" do g. ávila]
[05/11/2019] 25ª aula: Iniciamos a aula provando o seguinte teorema: "se a série ∑a_nxⁿ converge em x₀≠0 e diverge em x₁, então existe r>0 tal que ∑a_nxⁿ converge se |x| < r e diverge se |x|>r". Para demonstrar isto, basta lembrar o último teorema da aula passada para provar que o conjunto A={x∈R;∑a_nxⁿ converge} é limitado e tomar r=sup A. A seguir chamamos o r>0 obtido no teorema anterior de "raio de convergência". Convencionamos r=∞ quando a série converge na reta toda e r=0 quando a série converge apenas na origem. Mostramos que r=lim_n→∞ |a_n|/|a_n+1|, quando existe este limite e calculamos o raio de convergência e o intervalo de convergência de vários exemplos (testando também os extremos do intervalo). A seguir provamos que quando a série ∑a_nxⁿ tem raio de convergência r>0, esta série converge uniformemente em qualquer subintervalo compacto de (–r, r). A prova deste fato é uma aplicação direta do teste M de Weierstass. Como corolário provamos que a função definida por uma série de potências é contínua e pode ser derivada e integrada termo-a-termo, preservando o raio de convergência.
[pág. 231-236 do livro "análise matemática para licenciatura" do g. ávila]
[07/11/2019] 26ª aula: realização da J3M - dispensa das aulas para participacao nas atividades da Jornada de Matematica, Matemática Aplicada e Educação Matematica - J3M. Haverá controle de frequência no evento.
[12/11/2019] 27ª aula: Definimos as funções trigonométricas seno e cosseno a partir de suas séries de potências e provamos que: 1) o raio de convergência de ambas as séries é infinito, logo as séries que definem as funções seno e cosseno convergem na reta toda, definem funções de classe C^∞ e podemos integrá-las e derivá-las termo a termo; 2) calculamos explicitamente as derivadas de seno e cosseno; 3) provamos a relação fundamental sen²(x)+cos²(x)=1; 4) provamos as fórmulas para adição de arcos para seno e cosseno; 5) provamos que existe um ponto x₀>0 no qual o cosseno se anula e que seno e cosseno são funções periódicas de período 2π.
[pág. 166 a 169 do livro "análise real, volume 1", do elon l. lima]
[14/11/2019] 28ª aula: resolução de exercícios.
[19/11/2019] 29ª aula: resolução de exercícios.
[21/11/2019] 30ª aula: 3ª prova
[12/12/2019] Prova final

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