prof. alexandre kirilov

departamento de matemática

Fundamentos de análise - 2018

Nesta página você encontra o diario de classe e o roteiro de estudos recomendado pelo professor. Para ter acesso as notas das provas, listas de exercícios e outras informações da disciplina, clique nos links abaixo.

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Roteiro de estudo e lista de exercícios

Seguindo a ordem cronológica que os assuntos foram apresentados em sala de aula, recomendo o seguinte roteiro de estudos :

apêndice 1 - axiomas de peano: estudar o texto peano_hygino.pdf e fazer todos os exercícios (pag. 80 a 87);
capítulo 2 - naturais: estudar as seções 4 e 5 de naturais_hygino.pdf e fazer exercícios 38 a 50 (pag. 40 e 41);
[Apesar de não cobrar em avaliações, recomendo fortemente a leituras das seções 2 e 3 (pag. 20 a 28) e a resolução de exercícios dessas seções (pag. 28 a 30)];
apêndice 2 - construção dos inteiros: Estudar o texto inteiros_hygino.pdf e fazer todos os exercícios (pag. 162 a 169);
capítulo 4 - racionais: estudar as seções 3 e 6 (exceto subseções 3.3 e 3.5) de racionais_hygino.pdf e fazer os exercícios 365 a 377 (pag. 197 e 198);
Representação decimal dos números racionais: estudar cuidadosamente as demonstrações do texto representa_racionais.pdf, e fazer os exercícios 402 a 411 (pag. 212 e 213) de racionais_hygino.pdf .
números irracionais: ler os cap 3 e 4 do livro do Ivan Niven ivan_niven.pdf (da pag. 64 a 69 e da pag. 79 a 100) fazendo todos os exercícios sugeridos pelo autor.
Conjuntos finitos e infinitos enumaráveis: ler as seções 2, 3 e 4 do capítulo 1 do livro Análise Real, volume 1, do Elon Lajes lima (fininho de capa cinza). Fazer os exercícios dessas seções que estão no final do capítulo.

A partir deste ponto inicia o conteúdo para a 2a. prova (corpos ordenados e sequências)
corpos ordenados: o capítulo 3 do livro "curso de Análise, volume 1, do Elon Lajes lima (o livro mais grosso) tem todo o conteúdo que precisamos e muito mais. Leiam o capítulo e façam a lista de exercícios corpos_ordenados.pdf.
sequências de números reais (1ª parte): ler o capítulo 3 (seções 1, 2 e 3) do livro Análise Real, vol. 1, do Elon (fininho de capa cinza) e Fazer os exercícios que estão no final do capítulo. Também recomendo a leitura do capítulo 4 do livro do Geraldo ávila (analise_licenc_avila_45a59.pdf). Não esqueçam da lista de exercícios lista_sequencias.pdf.

A partir deste ponto inicia o conteúdo para a 3a. prova (mais sequências e séries)
sequências de números reais (2ª parte): ler a seção 4 cap. 3 do livro do Elon (Análise Real, fininho cinza) e Fazer os exercícios do final do capítulo. Também recomendo a leitura da seção sobre limites infinito e de sequências de cauchy do livro do Geraldo ávila (analise_licenc_avila_60a74.pdf). Não esqueçam da lista de exercícios lista_sequencias2.pdf.
séries de números reais: ler o cap. 5 do livro do Elon (Análise Real, fininho cinza) e Fazer os exercícios do final do capítulo, e o cap.5 do livro do g. ávila (analise_licenc_avila_75a86.pdf e analise_licenc_avila_87a98.pdf). a maioria dos exercícios de séries na lista_series.pdf foi obtida destes dois livros.

Diário de classe

[27/02/18] 1ª aula: apresentação da disciplina (programa, bibliografia e critérios de avaliação).
iniciamos o conteúdo com a construção do conjunto dos números naturais a partir dos Axiomas de peano, definimos precisamente a adição de números naturais e discutimos suas principais propriedades [pag. 80 a 82 do livro do hygino].
[01/03/18] 2ª aula: definimos a multiplicação de números naturais e demonstramos suas principais propriedades, estabelecemos uma relação de ordem no conjunto dos números naturais e apresentamos suas principais propriedades. [pag. 83 a 85 do livro do hygino].
[06/03/18] 3ª aula: provamos a lei da tricotomia no conjunto do números naturais e o Princípio da Boa ordenação. na segunda parte da aula passamos a Resolução de exercícios. [pag. 85 a 87 do livro do hygino].
[08/03/18] 4ª aula: demonstramos cuidadosamente o algoritmo da divisão de Euclides no conjunto dos números naturais. Também provamos o teorema de representação em diferentes bases para o sistema de numeração posicional. [pag. 31 a 43 do livro do hygino].
[13/03/18] 5ª aula: fizemos a construção formal dos números inteiros, definimos adição, produto e diferença de inteiros. introduzimos uma relação de ordem no conjunto dos inteiros e analisamos suas principais propriedades, enfatizando que todas podem ser provadas e não é necessário assumí-las como axiomas. [pag. 162 a 169 do livro do hygino]
[15/03/18] 6ª aula: fizemos a construção dos números racionais, analisamos suas principais propriedades e obtivemos condições para que a representação decimal de um racional seja finita ou infinita periódica. [cap. IV do livro do hygino e primeira parte do texto representa_racionais.pdf].
[20/03/18] 7ª aula: obtivemos uma caracterização completa dos números racionais (um número é racional se e somente se possui uma representação decimal infinita periódica), e provamos a Unicidade da representação infinita periódica. Também negamos o teorema acima para garantir a Existência de números não racionais (números cuja representação decimal é infinita e não periódica). [segunda parte do texto representa_racionais.pdf].
[22/03/18] 8ª aula: analisamos a representação decimal dos números irracionais (infinitas e não periódicas). revisitamos a clássica demonstração dA irracionalidade de √2 e a adaptamos para provar que a raiz quadrada de um número natural é racional se e somente se este número é um quadrado perfeito.
[27/03/18] 9ª aula: introduzimos as definições de conjunto finito e infinito, provamos que todo subconjunto de um conjunto finito também é finito, e que um subconjunto dos números naturais é finito se e somente se é limitado. Definimos conjuntos enumeráveis e Usando o axioma da escolha mostramos que todo conjunto infinito possui um subconjunto infinito enumerável.
[29/03/18] 10ª aula: Provamos que todo subconjunto de números naturais é enumerável e como consequência obtivemos os seguintes resultados fundamentais da teoria: (1) se Β é enumerável f : Α → Β e injetiva entao Α e enumeravel; e (2) se Α é enumerável e f : Α → Β e sobrejetiva entao Β e enumeravel. Na sequência provamos que o produto cartesiano de enumeráveis é enumerável e provamos que o conjunto dos racionais é enumerável (como f : ℤ × ℤ -{0} → ℚ, f(p,q) = p/q e sobrejetiva e ℤ × ℤ -{0} e enumeravel então é ℚ enumerável). Terminamos a aula usando o argumento diagonal de Cantor para provar que o intervalo (0,1] é não enumerável
[03/04/18] 11ª aula: discutimos a resolução de vários itens das listas de exercícios.
[05/04/18] 12ª aula: primeira prova
[10/04/18] 13ª aula: apresentamos a definição de corpo e discutimos várias de suas consequências (ver o início do cap. 3 do livro "Curso de Análise" de Elon Lajes lima). Como exemplo analisamos os corpos dos números racionais, corpos finitos, corpo dos numeros complexos racionais e corpo das funções racionais com coeficientes racionais. A seguir apresentamos a definição de corpo ordenado, verificamos que o corpo dos racionais é ordenado. Também verificamos que o corpo dos números complexos racionais não pode ser ordenado, pois i^2=-1 (em um corpo ordenado o quadrado de qualquer elemento não nulo é positivo).
[12/04/18] 14ª aula: Vimos que os corpos finitos não podem ser ordenados, e que o corpo das funções racionais com coeficientes racionais é um corpo ordenado. Analisamos as propriedades da relação de ordem em um corpo (transitividade, tricotomia, compatibilidade com adição e multiplicação por elementos positivos) e definimos a relação "menor ou igual". Provamos que em todo corpo ordenado há uma cópia dos números naturais, dos numeros inteiros e dos números racionais, e vimos que o corpo dos racionais é o menor corpo ordenado que existe (no sentido que qualquer outro corpo ordenado contém uma cópia dos racionais). A seguir DEfinimos conjuntos limitados inferiormente, superiormente e intervalos limitados e não limitados em um corpo ordenado. Definimos o valor absoluto e provamos algumas de suas propriedades, tais como a desigualdade triangular e suas consequências.
[17/04/18] 15ª aula: Mostramos que o corpo das funções racionais com coeficientes racionais é um corpo ordenado no qual o conjunto dos números naturais é limitado superiormente (com a ordem definida pelo produto dos coeficientes de mais alto grau). Também mostramos que no corpo dos números racionais, com a ordem usual, o conjunto dos números naturais não é limitado superiormente. Provamos que as seguintes afirmações são equivalentes: (1) o conjunto dos números naturais é ilimitado superiormente no corpo ordenado; (2) para todo a e b no corpo, existe n natural, com na>b; e (3) para todo a>0 no corpo, existe n natural, satisfazendo 0<1/n<a. Essas equivalências caracterizam um corpo ordenado arquimediano.
[19/04/18] 16ª aula: Definimos ínfimo e supremo de um conjunto e discutimos vários exemplos. O principal deles é que o conjunto {x racional; 0<x²<2} é limitado inferiormente e superiormente. O ínfimo é 0 (zero) porém este conjunto não tem supremo. O supremo deveria ser "raiz quadrada de 2", que sabidamente não é racional. Isso mostra que o corpo dos racionais não é "completo". Dizer que um corpo ordenado é completo significa que todo conjunto limitado superiormente tem supremo. Concluímos a aula com o axioma dos números reais: "Existe um corpo ordenado completo, chamado de corpo dos números reais".
[24/04/18] 17ª aula: definimos sequência de números reais e introduzimos sua notação. Falamos de sequências limitadas e provamos com detalhes o teorema "(x_n) é limitada se e somente se existe uma constante C>0 tal que |x_n|≤C, para todo n natural. A seguir demos a definição precisa de limite de uma sequência (com epsilon) e chamamos a atenção para o seguinte fato: se "lim x_n=a então apenas um número finito de elementos de (x_n) pode estar fora do intervalo (a- ε, a+ε), qualquer que seja o ε>0 fixado. A partir dessa observação provamos que toda sequência convergente é limitada.
[26/04/18] 18ª aula: mostramos que o limite de uma sequência, quando existe, é único. provamos Que em uma sequência convergente todas as subsequências convergem e tem o mesmo limite, esse resultado nos deu um método para mostrar que uma sequênca não converge (apresentando duas subsequências com limites distintos). Enunciamos e provamos o teorema de bolzano-weierstrass (prova dividindo o intervalo em subintervalos fechados e usando o teorema dos intervalos encaixados). Introduzimos o conceito de sequência monótona e provamos que toda sequência monótona limitada é convergente (por exemplo: se a sequência é crescente converge para o supremo).
[03/05/18] 19ª aula: analisamos a relação entre limites e desigualdades (teorema: se lim x_n = m e a<m<b então a<x_n <b, para n grande) e obtivemos o teorema da permanência do sinal como corolário. Provamos as regras operacionais com limites (adição, produto por escalar, produto de sequências e divisão quando o limite do denominador é diferente de zero).
[08/05/18] 20ª aula: discussão e ideias para a resolução de vários itens das listas de exercícios.
[10/05/18] 21ª aula: segunda prova
[15/05/18] 22ª aula: definimos sequências de cauchy, mostramos que toda sequência convergente é de Cauchy. A seguir provamos que toda sequência de Cauchy é limitada. Usando o teorema de bolzano-weierstrass, sabemos que toda sequência de cauchy tem subsequência convergente x_nk → a. Finalmente provamos que a sequência de cauchy toda (x_n) converge para o mesmo limite a. Conclusão: (x_n) converge se e somente se (x_n) é de Cauchy.
[17/05/18] 23ª aula: começamos provando que, se |x_n+2 - x_n+1| ≤ λ|x_n+1 - x_n|, para λ ∈[0,1), então (x_n) é convergente (método das aproximações sucessivas). A seguir usamos este método para calcular aproximações da raiz quadrada de b através da sequência recorrente x_n+1=(x_n+b/x_n)/2. Na segunda parte da aula falamos de limites no infinito definindo precisamente o significado da expressão lim x_n = +∞, e fazendo vários exemplos.
[22/05/18] 24ª aula: demonstramos alguns resultados com limites infinitos. Discutimos os sete casos de indeterminações (0/0, 0.∞, ∞-∞, ∞/∞, 1^∞, ∞⁰ e 0⁰). Falamos sobre ordem de grandeza, ou seja, que para n grande temos n^k << aⁿ << n! << nⁿ, sendo k natural e a>1. Para isso provamos o seguinte resultado: se x_n>0 e lim x_n+1 / x_n= a < 1 então lim x_n = 0.
[24/05/18] 25ª aula: introdução ao estudo de séries (como definir uma soma infinita). Se uma série converge então seu termo geral tende a zero. convergência da Série geométrica. prova dA divergência da série harmônica. critério de convergência de Cauchy para séries. soma e produto de séries convergentes.

[29/05/18] não houve aula: aulas suspensa devido a greve dos camihoneiros.
[05/06/18] 26ª aula: séries de termos positivos. o teste da comparação e exemplos de estudo da convergência usando o teste da comparação, convergência da série p (∑ 1/n^p). demonstração da irracionalidade do numero e = ∑ 1/n!
[07/06/18] 27ª aula: vimos a demonstração detelhada dos testes da razão e da raiz.convergência absoluta e condicional. Critério de convergência de Leibniz.
[12/06/18] 28ª aula: discussão e ideias para a resolução de vários itens das listas de exercícios.
[14/06/18] 29ª aula: terceira prova
[21/06/18] 30ª aula: encerramento da disciplina